Questão 3: Valor (2,5) Determine uma equação do plano tangente e uma equaçāo da reta normal à superfície dada por z=4 x^{2}-y^{2}+2 y, no ponto especificado (-1,2,4).

Passo 1

O enunciado dá a superfície z=4x^{2}-y^{2}+2y e pede duas coisas no ponto (-1,2,4):
  • Determinar uma equação do plano tangente à superfície nesse ponto.
  • Determinar uma equação da reta normal à superfície nesse ponto.
Informações relevantes que temos:
  • A função que define a superfície é f(x,y)=4x^{2}-y^{2}+2y.
  • O ponto de tangência é (x_0,y_0,z_0)=(-1,2,4).
    Nada mais será assumido; vou explicar cada conceito e cada conta passo a passo.

Passo 2

O primeiro ingrediente é calcular as derivadas parciais de f. Uma derivada parcial mede a taxa de variação da função quando uma variável muda e a outra fica fixa. Formalmente:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x tratando y como constante.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada de f em relação a y tratando x como constante.
Para f(x,y)=4x^{2}-y^{2}+2y calculamos:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{d}{dx}\big(4x^{2}\big)=8x,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{d}{dy}\big(-y^{2}+2y\big)=-2y+2.

Passo 3

Agora avaliamos as derivadas parciais no ponto (x_0,y_0)=(-1,2):
\frac{\partial f}{\partial x}(-1,2)=8\cdot(-1)=-8,
\frac{\partial f}{\partial y}(-1,2)=-2\cdot 2+2=-4+2=-2.
Portanto as inclinações da superfície nas direções x e y no ponto são -8 e -2, respectivamente.

Passo 4

Fórmula do plano tangente: se z=f(x,y) e (x_0,y_0,z_0) é um ponto da superfície com z_0=f(x_0,y_0), então a equação do plano tangente é
z-z_{0}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\,(x-x_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\,(y-y_{0}).
Aqui cada termo significa:
  • z-z_0: diferença vertical entre um ponto genérico (x,y,z) do plano e o ponto de tangência.
  • \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\,(x-x_{0}): contribuição linear do deslocamento em x.
  • \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\,(y-y_{0}): contribuição linear do deslocamento em y.

Passo 5

Substituindo os valores calculados:
z-4 = (-8)\,(x-(-1)) + (-2)\,(y-2).
Lembrando x-(-1)=x+1, expandimos:
z-4 = -8(x+1) -2(y-2).
Agora simplificando passo a passo:
z-4 = -8x -8 -2y +4 = -8x -2y -4.
Somando 4 em ambos os lados:
z = -8x -2y.
Também se pode escrever em forma padrão:
8x+2y+z=0.

Passo 6

Reta normal: a reta normal à superfície em um ponto tem direção dada pelo vetor normal ao plano tangente. Uma forma sistemática de obter esse vetor normal é usar a função F(x,y,z)=f(x,y)-z. O gradiente de F é
\nabla F=(\partial_x f,\,\partial_y f,\,-1),
que, avaliado no ponto, é um vetor normal à superfície. Usando os valores encontrados,
\nabla F(-1,2,4)=\big(-8,\,-2,\,-1\big).
Qualquer múltiplo desse vetor também é normal; para ficar mais simples podemos usar o múltiplo \vec{n}=(8,2,1) (trocar o sinal só inverte a direção da reta, a reta continua a mesma).

Passo 7

Equação paramétrica da reta normal: a reta que passa por (x_0,y_0,z_0) com direção \vec{n}=(8,2,1) é
(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t\,(8,2,1),\quad t\in\mathbb{R}.
Substituindo (x_0,y_0,z_0)=(-1,2,4) obtemos as equações paramétricas:
x=-1+8t,\qquad y=2+2t,\qquad z=4+t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Forma simétrica (opcional) da reta:
\frac{x+1}{8}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-4}{1}.

Resposta

z=-8x-2y
x=-1+8t,\;y=2+2t,\;z=4+t,\;t\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados