Questão 3: Valor
Determine uma equação do plano tangente e uma equaçāo da reta normal à superfície dada por
, no ponto especificado
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede duas coisas no ponto
:
- Determinar uma equação do plano tangente à superfície nesse ponto.
- Determinar uma equação da reta normal à superfície nesse ponto.
Informações relevantes que temos:
- A função que define a superfície é
. - O ponto de tangência é
.
Nada mais será assumido; vou explicar cada conceito e cada conta passo a passo.
Passo 2
O primeiro ingrediente é calcular as derivadas parciais de
. Uma derivada parcial mede a taxa de variação da função quando uma variável muda e a outra fica fixa. Formalmente:
-
é a derivada de em relação a tratando como constante. -
é a derivada de em relação a tratando como constante.
Para
calculamos:
Passo 3
Agora avaliamos as derivadas parciais no ponto
:
Portanto as inclinações da superfície nas direções
e
no ponto são
e
, respectivamente.
Passo 4
Fórmula do plano tangente: se
e
é um ponto da superfície com
, então a equação do plano tangente é
Aqui cada termo significa:
-
: diferença vertical entre um ponto genérico do plano e o ponto de tangência. -
: contribuição linear do deslocamento em . -
: contribuição linear do deslocamento em .
Passo 5
Substituindo os valores calculados:
Lembrando
, expandimos:
Agora simplificando passo a passo:
Somando
em ambos os lados:
Também se pode escrever em forma padrão:
Passo 6
Reta normal: a reta normal à superfície em um ponto tem direção dada pelo vetor normal ao plano tangente. Uma forma sistemática de obter esse vetor normal é usar a função
. O gradiente de
é
que, avaliado no ponto, é um vetor normal à superfície. Usando os valores encontrados,
Qualquer múltiplo desse vetor também é normal; para ficar mais simples podemos usar o múltiplo
(trocar o sinal só inverte a direção da reta, a reta continua a mesma).
Passo 7
Equação paramétrica da reta normal: a reta que passa por
com direção
é
Substituindo
obtemos as equações paramétricas:
Forma simétrica (opcional) da reta: