No sistema Terra-Lua há um ponto onde as forças gravitacionais se equilibram. Esse ponto é conhecido como o ponto L1, onde L significa Lagrange, um famoso matemático francês. Assuma que a massa da Lua é
da massa da Terra.
a) Em que ponto, sobre uma linha entre a Terra e a Lua, a força gravitacional exercida sobre um corpo pela Terra é equilibrada exatamente pela força gravitacional exercida sobre o corpo pela Lua?
b) É um ponto de equilíbrio estável ou instável?
c) Calcule a razão da força da gravidade devido ao Sol, atuando sobre um corpo nesse ponto, para a força da gravidade devido à Terra e, separadamente, para a força da gravidade devido à Lua.
a) Em que ponto, sobre uma linha entre a Terra e a Lua, a força gravitacional exercida sobre um corpo pela Terra é equilibrada exatamente pela força gravitacional exercida sobre o corpo pela Lua?
b) É um ponto de equilíbrio estável ou instável?
c) Calcule a razão da força da gravidade devido ao Sol, atuando sobre um corpo nesse ponto, para a força da gravidade devido à Terra e, separadamente, para a força da gravidade devido à Lua.
Passo 1
O enunciado pede três coisas, e dá a informação de que a massa da Lua é
da massa da Terra. Vou listar claramente o que se quer e o que é conhecido:
-
Perguntas:
(a) Em que ponto, sobre a linha Terra–Lua, as forças gravitacionais da Terra e da Lua se equilibram exatamente?
(b) Esse ponto é de equilíbrio estável ou instável?
(c) Qual é a razão da força gravitacional do Sol, atuando sobre um corpo nesse ponto, para (i) a força gravitacional da Terra e (ii) a força gravitacional da Lua? -
Informações dadas e convenções que vou usar:
- Massa da Terra:
. Massa da Lua: (isso veio do enunciado). - Distância entre Terra e Lua: vou chamar de
. - Procuro um ponto na linha que liga as duas massas; seja
a distância desse ponto até o centro da Terra (logo a distância até a Lua é ). - Vou usar a lei da gravitação universal de Newton:
ondeé a força gravitacional sobre uma massa teste , é a massa que atrai, é a distância entre os centros, e é a constante gravitacional (ela vai cancelar nas razões). - Massa da Terra:
-
Não foi dada a massa do Sol nem a distância Terra–Sol no enunciado, então vou usar valores astronômicos conhecidos para o Sol e a distância Terra–Sol (1 unidade astronômica). Vou indicar claramente esses valores quando precisar deles.
Passo 2
Explicando a teoria essencial (aquela “aula rápida” que você pediu): a força gravitacional entre duas massas é dada por
Aqui:
-
é a constante gravitacional (não precisamos do seu valor numérico porque vai cancelar); -
é a massa que puxa (por exemplo, Terra ou Lua); -
é a massa do corpo pequeno sobre o qual as forças agem (também cancela ao comparar forças); -
é a distância entre os centros.
No equilíbrio pedido em (a) queremos que a intensidade da força da Terra sobre
seja igual à intensidade da força da Lua sobre
. Ou seja,
Cancelo
e
dos dois lados e substituo
. A equação fica
Posso ainda cancelar
, obtendo a equação que realmente preciso resolver:
Passo 3
Agora resolvo a equação algébrica passo a passo (sem pular etapas):
Tomo raiz quadrada em ambos os lados (todas quantidades positivas porque são distâncias):
Agora isolo
:
Interpretação: o ponto de equilíbrio fica a uma distância
a partir do centro da Terra, ou seja, a uma distância até a Lua
Em palavras: o ponto está a
do caminho a partir da Terra (ou a
do caminho a partir da Lua) — ou seja, bastante mais próximo da Lua, como faz sentido porque a Terra é muito mais massiva.
Como exemplo numérico para ficar concreto (você pode usar na prova): se
(distância média Terra–Lua), então
e a distância até a Lua é cerca de
.
Passo 4
Agora a parte conceitual sobre estabilidade (aquela explicação que vale ouro na prova):
-
Definição intuitiva: um ponto de equilíbrio é estável se, após uma pequena perturbação, as forças tendem a puxar o corpo de volta para o ponto; é instável se uma pequena perturbação faz o corpo se afastar ainda mais do ponto.
-
Aplicação ao nosso caso: suponha que o corpo esteja ligeiramente deslocado para mais perto da Terra (isto é,
diminui um pouco). A força gravitacional da Terra aumenta como , e como estamos ficando mais perto da Terra a força da Terra cresce mais rapidamente do que a força da Lua diminui; logo o resultado líquido é um puxão adicional para a Terra — o corpo continua se afastando do ponto original. De modo similar, se o corpo se deslocar um pouco em direção à Lua, a força da Lua aumenta mais e ele é puxado para a Lua. Em ambos os lados a perturbação cresce, então o ponto é de equilíbrio instável.
Conclusão: o ponto L1 (na linha Terra–Lua) é um ponto de equilíbrio instável.
Passo 5
Agora vamos ao item (c): comparar a força gravitacional do Sol com as forças da Terra e da Lua no ponto L1.
Primeiro a ideia: a força do Sol sobre a massa teste
no ponto é
onde
é a distância do Sol até o ponto; como
(distância Terra–Lua) é muito pequena comparada a
(distância Terra–Sol), podemos usar
distância Terra–Sol. A força da Terra no ponto já a escrevemos:
com
. A razão pedida é
Substituo
:
Para obter um valor numérico, uso valores astronômicos padrão (vou escrever as fontes dos números, que são tabelas astronômicas comuns — isso é padrão em provas de física/astronomia):
-
(massa do Sol em massas da Terra), -
(Terra–Lua) , -
(Terra–Sol, 1,UA) .
Calcule passo a passo:
Agora
Faço a multiplicação em ordem:
Portanto, numericamente,
Agora compare com a Lua: no ponto L1 definimos que
por construção (parte (a)). Logo a razão do Sol para a Lua é a mesma:
Observação prática e intuítiva: o resultado nos diz que, no ponto L1 entre Terra e Lua, a força do Sol é da ordem de uma vez e meia a duas vezes a força da Terra (ou da Lua) sobre um pequeno corpo — não é negligenciável; por isso o Sol tem papel importante na dinâmica dos pontos de Lagrange.
Resposta
(a)
a partir do centro da Terra (ou seja, a
da Lua).
(b) Instável.
(c)
(c)
(b) Instável.
(c)
(c)