No sistema Terra-Lua há um ponto onde as forças gravitacionais se equilibram. Esse ponto é conhecido como o ponto L1, onde L significa Lagrange, um famoso matemático francês. Assuma que a massa da Lua é 1 / 81 da massa da Terra.
a) Em que ponto, sobre uma linha entre a Terra e a Lua, a força gravitacional exercida sobre um corpo pela Terra é equilibrada exatamente pela força gravitacional exercida sobre o corpo pela Lua?
b) É um ponto de equilíbrio estável ou instável?
c) Calcule a razão da força da gravidade devido ao Sol, atuando sobre um corpo nesse ponto, para a força da gravidade devido à Terra e, separadamente, para a força da gravidade devido à Lua.

Passo 1

O enunciado pede três coisas, e dá a informação de que a massa da Lua é 1/81 da massa da Terra. Vou listar claramente o que se quer e o que é conhecido:
  • Perguntas:
    (a) Em que ponto, sobre a linha Terra–Lua, as forças gravitacionais da Terra e da Lua se equilibram exatamente?
    (b) Esse ponto é de equilíbrio estável ou instável?
    (c) Qual é a razão da força gravitacional do Sol, atuando sobre um corpo nesse ponto, para (i) a força gravitacional da Terra e (ii) a força gravitacional da Lua?
  • Informações dadas e convenções que vou usar:
    • Massa da Terra: M. Massa da Lua: M_{\text{Lua}}=\dfrac{1}{81}M (isso veio do enunciado).
    • Distância entre Terra e Lua: vou chamar de R.
    • Procuro um ponto na linha que liga as duas massas; seja x a distância desse ponto até o centro da Terra (logo a distância até a Lua é R-x).
    • Vou usar a lei da gravitação universal de Newton:
    F = G\frac{M_1 m}{d^2},
    onde F é a força gravitacional sobre uma massa teste m, M_1 é a massa que atrai, d é a distância entre os centros, e G é a constante gravitacional (ela vai cancelar nas razões).
  • Não foi dada a massa do Sol nem a distância Terra–Sol no enunciado, então vou usar valores astronômicos conhecidos para o Sol e a distância Terra–Sol (1 unidade astronômica). Vou indicar claramente esses valores quando precisar deles.

Passo 2

Explicando a teoria essencial (aquela “aula rápida” que você pediu): a força gravitacional entre duas massas é dada por
F = G\frac{M_1 m}{d^2}.
Aqui:
  • G é a constante gravitacional (não precisamos do seu valor numérico porque vai cancelar);
  • M_1 é a massa que puxa (por exemplo, Terra ou Lua);
  • m é a massa do corpo pequeno sobre o qual as forças agem (também cancela ao comparar forças);
  • d é a distância entre os centros.
No equilíbrio pedido em (a) queremos que a intensidade da força da Terra sobre m seja igual à intensidade da força da Lua sobre m. Ou seja,
G\frac{M\,m}{x^2} = G\frac{M_{\text{Lua}}\,m}{(R-x)^2}.
Cancelo G e m dos dois lados e substituo M_{\text{Lua}}=\dfrac{1}{81}M. A equação fica
\frac{M}{x^2}=\frac{1}{81}\cdot\frac{M}{(R-x)^2}.
Posso ainda cancelar M, obtendo a equação que realmente preciso resolver:
\frac{1}{x^2}=\frac{1}{81}\cdot\frac{1}{(R-x)^2}.

Passo 3

Agora resolvo a equação algébrica passo a passo (sem pular etapas):
\frac{1}{x^2}=\frac{1}{81}\cdot\frac{1}{(R-x)^2} \quad\Longrightarrow\quad (R-x)^2=\frac{1}{81}\,x^2.
Tomo raiz quadrada em ambos os lados (todas quantidades positivas porque são distâncias):
R-x=\frac{x}{9}.
Agora isolo x:
R = x+\frac{x}{9}=\frac{10}{9}x \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{9}{10}R.
Interpretação: o ponto de equilíbrio fica a uma distância
x=\tfrac{9}{10}R
a partir do centro da Terra, ou seja, a uma distância até a Lua
R-x = R-\tfrac{9}{10}R = \tfrac{1}{10}R.
Em palavras: o ponto está a 90\% do caminho a partir da Terra (ou a 10\% do caminho a partir da Lua) — ou seja, bastante mais próximo da Lua, como faz sentido porque a Terra é muito mais massiva.
Como exemplo numérico para ficar concreto (você pode usar na prova): se R\approx 384\,400\\ \text{km} (distância média Terra–Lua), então
x \approx 0{,}9\cdot384\,400\\ \text{km}\approx 345\,960\\ \text{km},
e a distância até a Lua é cerca de 38\,440\\ \text{km}.

Passo 4

Agora a parte conceitual sobre estabilidade (aquela explicação que vale ouro na prova):
  • Definição intuitiva: um ponto de equilíbrio é estável se, após uma pequena perturbação, as forças tendem a puxar o corpo de volta para o ponto; é instável se uma pequena perturbação faz o corpo se afastar ainda mais do ponto.
  • Aplicação ao nosso caso: suponha que o corpo esteja ligeiramente deslocado para mais perto da Terra (isto é, x diminui um pouco). A força gravitacional da Terra aumenta como 1/x^2, e como estamos ficando mais perto da Terra a força da Terra cresce mais rapidamente do que a força da Lua diminui; logo o resultado líquido é um puxão adicional para a Terra — o corpo continua se afastando do ponto original. De modo similar, se o corpo se deslocar um pouco em direção à Lua, a força da Lua aumenta mais e ele é puxado para a Lua. Em ambos os lados a perturbação cresce, então o ponto é de equilíbrio instável.
Conclusão: o ponto L1 (na linha Terra–Lua) é um ponto de equilíbrio instável.

Passo 5

Agora vamos ao item (c): comparar a força gravitacional do Sol com as forças da Terra e da Lua no ponto L1.
Primeiro a ideia: a força do Sol sobre a massa teste m no ponto é
F_{\text{Sol}} = G\frac{M_{\text{Sol}}\,m}{D^2},
onde D é a distância do Sol até o ponto; como R (distância Terra–Lua) é muito pequena comparada a D (distância Terra–Sol), podemos usar D\approx distância Terra–Sol. A força da Terra no ponto já a escrevemos:
F_{\text{Terra}} = G\frac{M\,m}{x^2}
com x=\tfrac{9}{10}R. A razão pedida é
\frac{F_{\text{Sol}}}{F_{\text{Terra}}} = \frac{M_{\text{Sol}}/D^2}{M/x^2} = \frac{M_{\text{Sol}}}{M}\cdot\frac{x^2}{D^2}.
Substituo x^2=(0{,}9R)^2=0{,}81R^2:
\frac{F_{\text{Sol}}}{F_{\text{Terra}}} = 0{,}81\cdot\frac{M_{\text{Sol}}}{M}\cdot\frac{R^2}{D^2}.
Para obter um valor numérico, uso valores astronômicos padrão (vou escrever as fontes dos números, que são tabelas astronômicas comuns — isso é padrão em provas de física/astronomia):
  • \dfrac{M_{\text{Sol}}}{M}\approx 332\,946 (massa do Sol em massas da Terra),
  • R (Terra–Lua) \approx 384\,400\\ \text{km},
  • D (Terra–Sol, 1,UA) \approx 149\,597\,870\\ \text{km}.
Calcule passo a passo:
\frac{R}{D}\approx\frac{384\,400}{149\,597\,870}\approx 0{,}002571,
\left(\frac{R}{D}\right)^2\approx 6{,}61\times 10^{-6}.
Agora
\frac{F_{\text{Sol}}}{F_{\text{Terra}}} =0{,}81\cdot 332\,946 \cdot 6{,}61\times 10^{-6}.
Faço a multiplicação em ordem:
332\,946 \cdot 6{,}61\times 10^{-6}\approx 2{,}2006,
0{,}81\cdot 2{,}2006\approx 1{,}78.
Portanto, numericamente,
\frac{F_{\text{Sol}}}{F_{\text{Terra}}}\approx 1{,}78.
Agora compare com a Lua: no ponto L1 definimos que F_{\text{Terra}}=F_{\text{Lua}} por construção (parte (a)). Logo a razão do Sol para a Lua é a mesma:
\frac{F_{\text{Sol}}}{F_{\text{Lua}}}=\frac{F_{\text{Sol}}}{F_{\text{Terra}}}\approx 1{,}78.
Observação prática e intuítiva: o resultado nos diz que, no ponto L1 entre Terra e Lua, a força do Sol é da ordem de uma vez e meia a duas vezes a força da Terra (ou da Lua) sobre um pequeno corpo — não é negligenciável; por isso o Sol tem papel importante na dinâmica dos pontos de Lagrange.

Resposta

(a) \displaystyle x=\tfrac{9}{10}R a partir do centro da Terra (ou seja, a \tfrac{1}{10}R da Lua).
(b) Instável.
(c) \displaystyle \frac{F_{\text{Sol}}}{F_{\text{Terra}}}\approx 1{,}78
(c) \displaystyle \frac{F_{\text{Sol}}}{F_{\text{Lua}}}\approx 1{,}78

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