Qual o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z tais que |z|=3? E |z| <= 3?

Passo 1

O enunciado pede para determinar o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z tais que |z|=3 e tais que |z|<=3. O conteúdo aqui é geometria no plano complexo e vamos precisar usar a interpretação de módulo como distância do ponto z à origem.

Passo 2

Lembrando que o módulo de um número complexo z=x+iy é definido por |z|=raizx^2+y^2, estamos dizendo que a distância do ponto (x,y) até a origem (0,0) é exatamente 3. Ou seja,
raizx^2+y^2=3
que, ao elevarmos ao quadrado, nos dá
x^2+y^2=9

Passo 3

Esse é o traço no plano de uma circunferência de raio 3 com centro na origem.

Passo 4

Para |z|<=3, a interpretação é que a distância do ponto (x,y) até a origem é no máximo 3. Em termos de coordenadas, isso significa
raizx^2+y^2<=3
que, ao quadrado, vira
x^2+y^2<=9

Passo 5

Esse é o disco (região preenchida) de raio 3 com centro na origem, incluindo sua fronteira.

Resposta

O lugar geométrico de |z|=3 é a circunferência de raio 3 centrada na origem: $x2+y2=9$. O lugar de x^2+y^2=9 é o disco fechado de raio 3 centrado na origem: $x2+y2\le9$.

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