Seja \mathrm{F}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, tal que, para todo \mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{yi}(\mathrm{x}, \mathrm{y} \in \Re), \mathrm{F}(\mathrm{z}) =\mathrm{iz}+2+3 \mathrm{i}. Determine o conjunto dos complexos z cujas imagens por F estão na reta de equação 3 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}=5.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear-affim \mathrm{F}:\mathbb{C}\to\mathbb{C} definida por
\mathrm{F}(\mathrm{z}) = \mathrm{i}\mathrm{z} + 2 + 3\mathrm{i},
para todo \mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{y}\mathrm{i} com \mathrm{x},\mathrm{y}\in\mathbb{R}. Pede-se: determinar o conjunto dos complexos \mathrm{z} tais que a imagem \mathrm{F}(\mathrm{z}) pertence à reta de equação
3\mathrm{x} + 2\mathrm{y} = 5.
Aqui vou separar claramente as partes reais e imaginárias da imagem: seja \mathrm{F}(\mathrm{z}) = u + iv com u,v\in\mathbb{R}. A condição pedida é que os pares (u,v) satisfaçam a equação da reta acima.

Passo 2

Vamos calcular \mathrm{i}\mathrm{z} quando \mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{y}\mathrm{i}. Use a multiplicação de números complexos:
\mathrm{i}\mathrm{z} = \mathrm{i}(\mathrm{x}+\mathrm{y}\mathrm{i}) = \mathrm{i}\mathrm{x} + \mathrm{i}^2\mathrm{y}.
Lembre que \mathrm{i}^2 = -1. Portanto:
\mathrm{i}\mathrm{z} = -\mathrm{y} + \mathrm{i}\mathrm{x}.
Interpretação geométrica rápida (para fixar): multiplicar por \mathrm{i} corresponde a girar o ponto (\mathrm{x},\mathrm{y}) em 90^\circ e trocar coordenadas com sinal apropriado, mas aqui usamos a álgebra direta.

Passo 3

Agora calcule \mathrm{F}(\mathrm{z}) somando 2+3\mathrm{i} a \mathrm{i}\mathrm{z}:
\mathrm{F}(\mathrm{z}) = \mathrm{i}\mathrm{z} + 2 + 3\mathrm{i} = (-\mathrm{y} + 2) + \mathrm{i}(\mathrm{x} + 3).
Logo as partes real e imaginária da imagem são
u = -\mathrm{y} + 2,\qquad v = \mathrm{x} + 3,
onde u é a parte real de \mathrm{F}(\mathrm{z}) e v a parte imaginária.

Passo 4

Imponha agora que (u,v) esteja na reta dada pela equação \;3\mathrm{x}+2\mathrm{y}=5\;. Como usamos u e v para as partes da imagem, substituímos u e v nessa equação:
3u + 2v = 5.
Substituindo u = -\mathrm{y}+2 e v=\mathrm{x}+3 obtemos
3(-\mathrm{y}+2) + 2(\mathrm{x}+3) = 5.
Agora desenvolva passo a passo:
-3\mathrm{y} + 6 + 2\mathrm{x} + 6 = 5,
2\mathrm{x} - 3\mathrm{y} + 12 = 5,
2\mathrm{x} - 3\mathrm{y} = -7.
Essa é a condição que \mathrm{x} e \mathrm{y} devem satisfazer para que \mathrm{F}(\mathrm{z}) esteja na reta dada.

Passo 5

Interprete e escreva o conjunto solução de forma elegante e utilizável na prova.
  • Forma implícita: os complexos \mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{y}\mathrm{i} que satisfazem
2\mathrm{x} - 3\mathrm{y} = -7.
  • Forma explícita (resolver para \mathrm{y}): isolando \mathrm{y},
3\mathrm{y} = 2\mathrm{x} + 7 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{y} = \frac{2\mathrm{x} + 7}{3}.
Isso mostra que a solução é uma reta no plano complexo com coeficiente angular \tfrac{2}{3} e intercepto \tfrac{7}{3}.
  • Forma paramétrica útil na prova: tomando um parâmetro t\in\mathbb{R} para \mathrm{x}, \mathrm{x}=t, temos
\mathrm{z} = t + \mathrm{i}\frac{2t+7}{3} = t\!\left(1+\tfrac{2}{3}\mathrm{i}\right) + \tfrac{7}{3}\mathrm{i},\quad t\in\mathbb{R}.
Exemplo de checagem rápida (pra ganhar confiança): escolha \mathrm{x}=1. Então \mathrm{y}=(2\cdot 1+7)/3=3, logo \mathrm{z}=1+3\mathrm{i}. Calcule \mathrm{F}(1+3\mathrm{i})=\mathrm{i}(1+3\mathrm{i})+2+3\mathrm{i}=(-3+ \mathrm{i})+2+3\mathrm{i}=(-1)+4\mathrm{i}. Verifique a reta: 3(-1)+2\cdot 4=-3+8=5. Perfeito — funciona.

Resposta

\{\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{y}\mathrm{i}\in\mathbb{C}\mid 2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=-7\}
\{\,t\bigl(1+\tfrac{2}{3}\mathrm{i}\bigr)+\tfrac{7}{3}\mathrm{i}\mid t\in\mathbb{R}\,\}

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