Seja
, tal que, para todo
. Determine o conjunto dos complexos z cujas imagens por F estão na reta de equação
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear-affim
definida por
para todo
com
. Pede-se: determinar o conjunto dos complexos
tais que a imagem
pertence à reta de equação
Aqui vou separar claramente as partes reais e imaginárias da imagem: seja
com
. A condição pedida é que os pares
satisfaçam a equação da reta acima.
Passo 2
Vamos calcular
quando
. Use a multiplicação de números complexos:
Lembre que
. Portanto:
Interpretação geométrica rápida (para fixar): multiplicar por
corresponde a girar o ponto
em
e trocar coordenadas com sinal apropriado, mas aqui usamos a álgebra direta.
Passo 3
Agora calcule
somando
a
:
Logo as partes real e imaginária da imagem são
onde
é a parte real de
e
a parte imaginária.
Passo 4
Imponha agora que
esteja na reta dada pela equação
. Como usamos
e
para as partes da imagem, substituímos
e
nessa equação:
Substituindo
e
obtemos
Agora desenvolva passo a passo:
Essa é a condição que
e
devem satisfazer para que
esteja na reta dada.
Passo 5
Interprete e escreva o conjunto solução de forma elegante e utilizável na prova.
- Forma implícita: os complexos
que satisfazem
- Forma explícita (resolver para
): isolando ,
Isso mostra que a solução é uma reta no plano complexo com coeficiente angular
e intercepto
.
- Forma paramétrica útil na prova: tomando um parâmetro
para , , temos
Exemplo de checagem rápida (pra ganhar confiança): escolha
. Então
, logo
. Calcule
. Verifique a reta:
. Perfeito — funciona.