Luundo dividimos o polinómio p(x) pelo polinó mio d(x)=x^2-x, obtemos o-quociente Q(x)=x^3+2 x+4 e resto R(x)=4 x+6. Determine p(x).

Passo 1

O enunciado pede para reconstruir o polinómio p(x) sabendo que ao dividirmos por d(x)=x^2-x obtemos quociente Q(x)=x^3+2x+4 e resto R(x)=4x+6. O que vamos usar é a propriedade da divisão de polinómios que diz: p(x)=d(x)cdot Q(x)+R(x).

Passo 2

Escrevemos então diretamente a expressão de p(x):
p(x)=(x^2 - x)(x^3 + 2x + 4) + (4x + 6)

Passo 3

Agora expandimos o produto passo a passo:
(x^2 - x)(x^3 + 2x + 4) = x^2cdot(x^3+2x+4) - xcdot(x^3+2x+4) = (x^5 + 2x^3 + 4x^2) - (x^4 + 2x^2 + 4x) = x^5 - x^4 + 2x^3 + (4x^2 - 2x^2) - 4x = x^5 - x^4 + 2x^3 + 2x^2 - 4x

Passo 4

Por fim, somamos o resto 4x+6 e simplificamos termos semelhantes:
p(x) = (x^5 - x^4 + 2x^3 + 2x^2 - 4x) + (4x + 6) = x^5 - x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 6

Resposta

p(x)=x^5 - x^4 +2x^3 +2x^2 +6

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