Uma luz de comprimento de onda igual a 585 nm incide sobre uma fenda com
de largura.
a) Sobre uma tela grande e distante, qual o total de franjas escuras (indicando cancelamento completo) que serão formadas, incluindo ambos os lados da faixa brilhante central? Resolva este problema sem calcular todos os ângulos! (Dica: qual é o maior valor que
pode assumir? O que isso indica sobre o maior valor que
pode assumir?)
b) Em que ângulo a franja escura mais distante da franja brilhante central aparecerá?
a) Sobre uma tela grande e distante, qual o total de franjas escuras (indicando cancelamento completo) que serão formadas, incluindo ambos os lados da faixa brilhante central? Resolva este problema sem calcular todos os ângulos! (Dica: qual é o maior valor que
b) Em que ângulo a franja escura mais distante da franja brilhante central aparecerá?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma luz com comprimento de onda de 585 nanômetros (nm) passando por uma fenda com largura de 0,0666 milímetros (mm). O conteúdo da matéria envolve difração de luz em fendas simples e interferência. Para resolver, vamos precisar das fórmulas que descrevem a condição para o aparecimento de franjas escuras (minimos de intensidade) na tela.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o mesmo padrão para facilitar os cálculos. Sabemos que:
- 1 mm = 1000 nm
Então, a largura da fenda $ a = 0,0666 , mm = 0,0666 \times 1000 , nm = 66,6 , nm $.
Passo 3
Para franjas escuras em uma fenda simples, a condição é dada por:
Onde:
- $ a $ é a largura da fenda,
- $ \theta $ é o ângulo em relação à direção central onde ocorre o cancelamento,
- $ m $ é a ordem da franja escura (um número inteiro),
- $ \lambda $ é o comprimento de onda da luz.
Passo 4
A dica da questão nos orienta a pensar no maior valor que $ \sin \theta $ pode assumir. Sabemos que:
Isso significa que $ \sin \theta $ não pode ser maior que 1 nem menor que -1. Então, para encontrar o valor máximo de $ m $, rearranjamos a condição das franjas escuras:
Como $ \sin \theta_{max} = 1 $, temos:
Passo 5
Vamos calcular $ m_{max} $:
Como $ m $ deve ser um número inteiro, o valor máximo de $ m $ que satisfaz a condição é 0. Mas isso indicaria que não haveria franjas escuras além da central, o que não faz sentido físico. O que isso nos mostra é que, para os parâmetros dados, apenas a franja central brilhante existe e não há franjas escuras completas.
Resposta
a) Não se formam franjas escuras além da franja central brilhante. Ou seja, o total de franjas escuras é zero.
b) Como não há franjas escuras completas, não há um ângulo para a franja escura mais distante.