Uma luz de comprimento de onda igual a 585 nm incide sobre uma fenda com 0,0666 mm de largura.
a) Sobre uma tela grande e distante, qual o total de franjas escuras (indicando cancelamento completo) que serão formadas, incluindo ambos os lados da faixa brilhante central? Resolva este problema sem calcular todos os ângulos! (Dica: qual é o maior valor que sin theta pode assumir? O que isso indica sobre o maior valor que m pode assumir?)
b) Em que ângulo a franja escura mais distante da franja brilhante central aparecerá?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma luz com comprimento de onda de 585 nanômetros (nm) passando por uma fenda com largura de 0,0666 milímetros (mm). O conteúdo da matéria envolve difração de luz em fendas simples e interferência. Para resolver, vamos precisar das fórmulas que descrevem a condição para o aparecimento de franjas escuras (minimos de intensidade) na tela.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o mesmo padrão para facilitar os cálculos. Sabemos que:
  • 1 mm = 1000 nm
Então, a largura da fenda $ a = 0,0666 , mm = 0,0666 \times 1000 , nm = 66,6 , nm $.

Passo 3

Para franjas escuras em uma fenda simples, a condição é dada por:
a cdot sin theta = m cdot lambda
Onde:
  • $ a $ é a largura da fenda,
  • $ \theta $ é o ângulo em relação à direção central onde ocorre o cancelamento,
  • $ m $ é a ordem da franja escura (um número inteiro),
  • $ \lambda $ é o comprimento de onda da luz.

Passo 4

A dica da questão nos orienta a pensar no maior valor que $ \sin \theta $ pode assumir. Sabemos que:
sin theta
Isso significa que $ \sin \theta $ não pode ser maior que 1 nem menor que -1. Então, para encontrar o valor máximo de $ m $, rearranjamos a condição das franjas escuras:
-1 <= sin theta <= 1
Como $ \sin \theta_{max} = 1 $, temos:
sin theta

Passo 5

Vamos calcular $ m_{max} $:
mmax
Como $ m $ deve ser um número inteiro, o valor máximo de $ m $ que satisfaz a condição é 0. Mas isso indicaria que não haveria franjas escuras além da central, o que não faz sentido físico. O que isso nos mostra é que, para os parâmetros dados, apenas a franja central brilhante existe e não há franjas escuras completas.

Resposta

a) Não se formam franjas escuras além da franja central brilhante. Ou seja, o total de franjas escuras é zero.
b) Como não há franjas escuras completas, não há um ângulo para a franja escura mais distante.

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