Um ponto material se move no plano com aceleração constante. Para t=0, a posição, a velocidade e a aceleração são dadas, respectivamente, por:
r0=(6,0 imath+2,0 jmath) m, v0=(5,0 imath-2,0 jmath) m / s e a=(4,0 imath+3,0 jmath) m / s^2
a) Para t=2,0 s, obtenha o vetor velocidade e calcule o ângulo que ele faz com a horizontal.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto material que se move no plano com aceleração constante. No instante inicial ( t=0), conhecemos a posição ( r0), a velocidade ( v0) e a aceleração ( a) do ponto. O que precisamos fazer é encontrar o vetor velocidade no tempo t=2,0, s e calcular o ângulo que esse vetor faz com a horizontal.
Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento com aceleração constante. Precisamos lembrar como calcular a velocidade em um determinado instante quando temos a aceleração constante.

Passo 2

A equação para calcular a velocidade em qualquer instante t quando a aceleração é constante é:
v(t) = v0 + a cdot t
Aqui, v0 é a velocidade inicial, a é a aceleração, e t é o tempo.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na equação. Primeiro, vamos lembrar os vetores:
v0 = 5,0, imath - 2,0, jmath, m/s
a = 4,0, imath + 3,0, jmath, m/s^2
E o tempo t = 2,0, s.
Agora, substituindo na equação da velocidade:
v(2,0) = (5,0, imath - 2,0, jmath) + (4,0, imath + 3,0, jmath) cdot 2,0

Passo 4

Vamos calcular a multiplicação da aceleração pelo tempo:
a cdot t = 4,0, imath cdot 2,0 + 3,0, jmath cdot 2,0 = 8,0, imath + 6,0, jmath, m/s
Agora, somamos esse resultado com a velocidade inicial:
v(2,0) = (5,0, imath - 2,0, jmath) + (8,0, imath + 6,0, jmath) = 13,0, imath + 4,0, jmath, m/s

Passo 5

Agora que temos a velocidade no tempo t=2,0, s, vamos calcular o ângulo que esse vetor faz com a horizontal. A horizontal aqui é representada pelo eixo imath.
O ângulo theta pode ser encontrado usando a tangente:
tan(theta) = vyvx
Onde vy é a componente vertical e vx é a componente horizontal da velocidade.
Substituindo os valores:
tan(theta) = 4,013,0
Para encontrar theta, tiramos o arco-tangente:
theta = arctan(4,013,0)

Resposta

A velocidade no tempo t=2,0, s é v = 13,0, imath + 4,0, jmath, m/s. O ângulo que esse vetor faz com a horizontal é aproximadamente 16,70^circ.

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