Um ponto material se move no plano com aceleração constante. Para
, a posição, a velocidade e a aceleração são dadas, respectivamente, por:
b) Para
, determine o vetor posição e calcule o seu módulo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento com aceleração constante no plano. A gente tem que achar a posição do ponto no tempo $ t = 3,0 $ segundos. Para isso, vamos usar as informações iniciais de posição, velocidade e aceleração que nos foram dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a posição de um ponto que se move com aceleração constante. A posição no tempo $ t $ é dada por:
Onde:
- $ \vec{r}_0 $ é a posição inicial,
- $ \vec{v}_0 $ é a velocidade inicial,
- $ \vec{a} $ é a aceleração,
- $ t $ é o tempo.
Passo 3
Vamos separar isso por componentes $ \hat{\imath} $ (x) e $ \hat{\jmath} $ (y).
Para a componente $ \hat{\imath} $:
Para a componente $ \hat{\jmath} $:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que temos para $ t = 3,0 $ s.
Dados:
- $ \vec{r}_0 = (6,0 \hat{\imath} + 2,0 \hat{\jmath}) $ m
- $ \vec{v}_0 = (5,0 \hat{\imath} - 2,0 \hat{\jmath}) $ m/s
- $ \vec{a} = (4,0 \hat{\imath} + 3,0 \hat{\jmath}) $ m/s²
Passo 5
Vamos calcular a componente $ x $:
Calculando:
Passo 6
Agora, a componente $ y $:
Calculando:
Passo 7
Então, o vetor posição em $ t = 3,0 $ s é:
Resposta
Para $ t = 3,0 $ s, o vetor posição é $ \vec{r}(3) = 39,0 \hat{\imath} + 9,5 \hat{\jmath} $ metros e o seu módulo é aproximadamente $ 40,3 $ metros.