Um ponto material se move no plano com aceleração constante. Para t=0, a posição, a velocidade e a aceleração são dadas, respectivamente, por:
r0=(6,0 imath+2,0 jmath) m, v0=(5,0 imath-2,0 jmath) m / s e a=(4,0 imath+3,0 jmath) m / s^2
b) Para t=3,0 s, determine o vetor posição e calcule o seu módulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento com aceleração constante no plano. A gente tem que achar a posição do ponto no tempo $ t = 3,0 $ segundos. Para isso, vamos usar as informações iniciais de posição, velocidade e aceleração que nos foram dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a posição de um ponto que se move com aceleração constante. A posição no tempo $ t $ é dada por:
t
Onde:
  • $ \vec{r}_0 $ é a posição inicial,
  • $ \vec{v}_0 $ é a velocidade inicial,
  • $ \vec{a} $ é a aceleração,
  • $ t $ é o tempo.

Passo 3

Vamos separar isso por componentes $ \hat{\imath} $ (x) e $ \hat{\jmath} $ (y).
Para a componente $ \hat{\imath} $:
imath
Para a componente $ \hat{\jmath} $:
jmath

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que temos para $ t = 3,0 $ s.
Dados:
  • $ \vec{r}_0 = (6,0 \hat{\imath} + 2,0 \hat{\jmath}) $ m
  • $ \vec{v}_0 = (5,0 \hat{\imath} - 2,0 \hat{\jmath}) $ m/s
  • $ \vec{a} = (4,0 \hat{\imath} + 3,0 \hat{\jmath}) $ m/s²

Passo 5

Vamos calcular a componente $ x $:
x
Calculando:
x(3) = 6,0 + 5,0 times 3,0 + 12 times 4,0 times (3,0)^2

Passo 6

Agora, a componente $ y $:
y
Calculando:
y(3) = 2,0 + (-2,0) times 3,0 + 12 times 3,0 times (3,0)^2

Passo 7

Então, o vetor posição em $ t = 3,0 $ s é:
t = 3,0

Resposta

Para $ t = 3,0 $ s, o vetor posição é $ \vec{r}(3) = 39,0 \hat{\imath} + 9,5 \hat{\jmath} $ metros e o seu módulo é aproximadamente $ 40,3 $ metros.

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