Uma luz que contém comprimentos de onda de 450 nm e 900 nm incide em uma rede de difração. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
◯ As linhas de ordem par da luz de 900 nm coincidem com linhas da luz de 450 nm .
◯ As linhas de ordem ímpar da luz de 450 nm coincidem com linhas da luz de 900 nm .
◯ Nenhuma das linhas da luz de 450 nm coincide com linhas da luz de 900 nm .
◯ Todas as linhas da luz de 450 nm coincidem com linhas da luz de 900 nm .
◯ As linhas de ordem par da luz de 450 nm coincidem com linhas da luz de 900 nm .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para escolher qual afirmação é verdadeira:
  • Comprimentos de onda da luz: \lambda_1 = 450\\ \text{nm} e \lambda_2 = 900\\ \text{nm}.
  • As alternativas apresentadas são:
    • As linhas de ordem par da luz de 900\\ \text{nm} coincidem com linhas da luz de 450\\ \text{nm}.
    • As linhas de ordem ímpar da luz de 450\\ \text{nm} coincidem com linhas da luz de 900\\ \text{nm}.
    • Nenhuma das linhas da luz de 450\\ \text{nm} coincide com linhas da luz de 900\\ \text{nm}.
    • Todas as linhas da luz de 450\\ \text{nm} coincidem com linhas da luz de 900\\ \text{nm}.
    • As linhas de ordem par da luz de 450\\ \text{nm} coincidem com linhas da luz de 900\\ \text{nm}.
O que precisamos decidir é, para quais ordens m das duas cores a posição angular das máximas de difração coincide.

Passo 2

Conceito e fórmula essencial (aquela que sempre salva na prova): para uma rede de difração com espaçamento entre fendulas d, os máximos de difração ocorrem quando
d\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • d é a distância entre linhas adjacentes da rede (espacamento da grade);
  • \theta é o ângulo de difração medido a partir da normal;
  • m é a ordem do máximo (um inteiro: m=0,\pm1,\pm2,\dots);
  • \lambda é o comprimento de onda da luz considerada.
Explicando na prática: para dois comprimentos de onda diferentes \lambda_1 e \lambda_2, eles ocupam a mesma posição angular \theta se, e somente se, existirem inteiros m_1 e m_2 tais que ambos satisfaçam a mesma equação para o mesmo \theta.

Passo 3

Condição de coincidência de máximos das duas cores: igualando a mesma d\sin\theta para as duas cores,
m_1 \lambda_1 = m_2 \lambda_2,
onde m_1 é a ordem para \lambda_1 e m_2 é a ordem para \lambda_2. Essa equação é a chave: se existem inteiros m_1,m_2 que satisfazem, as linhas coincidem.

Passo 4

Aplicando os valores \lambda_1 = 450\\ \text{nm} e \lambda_2 = 900\\ \text{nm}. Substituindo em
m_1 \cdot 450 = m_2 \cdot 900.
Dividindo por 450,
m_1 = 2\,m_2.
Interpretação direta e didática:
  • Para qualquer inteiro m_2, existe um inteiro m_1 dado por m_1=2m_2. Ou seja, cada ordem m_2 da luz de 900\\ \text{nm} coincide com a ordem 2m_2 da luz de 450\\ \text{nm}.
  • Em termos mais simples: as ordens de \lambda_1=450\\ \text{nm} que coincidem são exatamente as ordens pares (porque m_1 é múltiplo de 2). Exemplos concretos:
    • m_2=1 (1ª ordem de 900\\ \text{nm}) coincide com m_1=2 (2ª ordem de 450\\ \text{nm}).
    • m_2=2 (2ª ordem de 900\\ \text{nm}) coincide com m_1=4 (4ª ordem de 450\\ \text{nm}).
  • Portanto, todas as linhas de ordem par de 450\\ \text{nm} coincidem com alguma linha (ordem inteira) de 900\\ \text{nm}. Linhas de ordem ímpar de 450\\ \text{nm} não coincidem porque para m_1 ímpar m_2=m_1/2 não é inteiro.

Passo 5

Comparando com as alternativas:
  • “As linhas de ordem par da luz de 450\\ \text{nm} coincidem com linhas da luz de 900\\ \text{nm}.” — corresponde exatamente ao que foi deduzido acima e é verdadeiro.
  • As outras alternativas (linhas ímpares de 450, nenhuma coincide, todas coincidem, ou falar sobre ordens pares de 900 como única forma) não são exatamente a melhor descrição pedida ou são falsas em relação ao enunciado (por exemplo, nem todas as linhas de 450 coincidem; apenas as pares).

Resposta

As linhas de ordem par da luz de 450 nm coincidem com linhas da luz de 900 nm .

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