Esta questão será feita em duas partes:
Uma partícula executa um MHS de maneira que no instante t=0,20 s ela se encontra no ponto de deslocamento máximo X_{m}. Ela retoma entāo para o ponto de equilíbrio e o atinge no instante t=0,25 \mathrm{~s}. Sabendo-se que a massa da partícula é m=10 \mathrm{~g} e sua energia total é E=0,080 \pi^{2} \mathrm{~J}, determine a amplitude X_{m}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Tempo em que a partícula está no deslocamento máximo: t_1=0,20\\ \mathrm{s}.
    • Tempo em que a partícula atinge o ponto de equilíbrio: t_2=0,25\\ \mathrm{s}.
    • Massa da partícula: m=10\\ \mathrm{g}=0,01\\ \mathrm{kg}.
    • Energia total do MHS: E=0,080\pi^{2}\\ \mathrm{J}.
  • O que se pede:
    • Determinar a amplitude X_{m} do movimento.

Passo 2

Entender a relação temporal entre máximo deslocamento e equilíbrio no MHS.
  • Num movimento harmônico simples (MHS), quando a partícula parte do deslocamento máximo (amplitude) e vai até o ponto de equilíbrio, ela percorre um quarto do período. Em outras palavras, o intervalo de tempo entre estar em X_{m} e estar em 0 (equilíbrio) é \dfrac{T}{4}, onde T é o período.
  • Aqui o intervalo observado é
\Delta t = t_{2}-t_{1}=0,25-0,20=0,05\\ \mathrm{s}.
Logo
\frac{T}{4}=\Delta t=0,05\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Calcular o período T e a frequência angular \omega.
  • Da relação \dfrac{T}{4}=0,05\\ \mathrm{s} segue
T=4\cdot 0,05=0,20\\ \mathrm{s}.
  • A frequência angular \omega relaciona-se com o período por
\omega=\frac{2\pi}{T}.
  • Substituindo T=0,20\\ \mathrm{s},
\omega=\frac{2\pi}{0,20}=10\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Lembrar a expressão da energia total no MHS e a relação mola-massa.
  • Em MHS de uma massa ligada a uma mola, a energia total E (constante) é igual à energia potencial máxima na amplitude, que é
E=\frac{1}{2}kX_{m}^{2},
onde k é a constante da mola e X_{m} a amplitude. Aqui:
  • E é a energia total (em joules),
  • k é a constante elástica da mola (em N/m),
  • X_{m} é a amplitude (em m).
  • A constante k e a massa m relacionam-se com \omega por
k=m\omega^{2}.
Expliquei: para um sistema massa-mola sem amortecimento, \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}, daí k=m\omega^{2}.

Passo 5

Substituir k em E=\dfrac{1}{2}kX_{m}^{2} e isolar X_{m}.
  • Substituindo k=m\omega^{2} na expressão da energia:
E=\frac{1}{2}m\omega^{2}X_{m}^{2}.
  • Isolando X_{m}^{2}:
X_{m}^{2}=\frac{2E}{m\omega^{2}}.
  • Portanto
X_{m}=\sqrt{\frac{2E}{m\omega^{2}}}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e simplificar sem pular etapas.
  • Já temos E=0,080\pi^{2}\\ \mathrm{J}, m=0,01\\ \mathrm{kg} e \omega=10\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Calcular \omega^{2}:
\omega^{2}=(10\pi)^{2}=100\pi^{2}.
  • Calcular o produto m\omega^{2}:
m\omega^{2}=0,01\cdot 100\pi^{2}=1\cdot\pi^{2}=\pi^{2}.
Detalhe: 0,01\times 100=1, por isso fica \pi^{2}.
  • Agora calcular X_{m}^{2}:
X_{m}^{2}=\frac{2E}{m\omega^{2}}=\frac{2\cdot(0,080\pi^{2})}{\pi^{2}}.
  • Cancelando \pi^{2} no numerador e denominador fica
X_{m}^{2}=2\cdot 0,080=0,160.
  • Portanto
X_{m}=\sqrt{0,160}.

Passo 7

Extrair a raiz quadrada e apresentar o resultado com unidades.
  • Calcular \sqrt{0,160}. Podemos reescrever 0,160=0,16 (mesma quantidade) e lembrar que \sqrt{0,16}=0,4, porque 0,4^{2}=0,16.
  • Logo
X_{m}=0,4\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação rápida: a amplitude é 40\\ \mathrm{cm}. Respire fundo — número agradável e coerente com os dados.

Resposta

X_{m}=0,4\\ \mathrm{m}

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