Esta questão será feita em duas partes:
Uma partícula executa um MHS de maneira que no instante
ela se encontra no ponto de deslocamento máximo
. Ela retoma entāo para o ponto de equilíbrio e o atinge no instante
. Sabendo-se que a massa da partícula é
e sua energia total é
, determine a amplitude
.
Uma partícula executa um MHS de maneira que no instante
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Tempo em que a partícula está no deslocamento máximo:
. - Tempo em que a partícula atinge o ponto de equilíbrio:
. - Massa da partícula:
. - Energia total do MHS:
.
- Tempo em que a partícula está no deslocamento máximo:
-
O que se pede:
- Determinar a amplitude
do movimento.
- Determinar a amplitude
Passo 2
Entender a relação temporal entre máximo deslocamento e equilíbrio no MHS.
-
Num movimento harmônico simples (MHS), quando a partícula parte do deslocamento máximo (amplitude) e vai até o ponto de equilíbrio, ela percorre um quarto do período. Em outras palavras, o intervalo de tempo entre estar em
e estar em (equilíbrio) é , onde é o período. -
Aqui o intervalo observado é
Logo
Passo 3
Calcular o período
e a frequência angular
.
- Da relação
segue
- A frequência angular
relaciona-se com o período por
- Substituindo
,
Passo 4
Lembrar a expressão da energia total no MHS e a relação mola-massa.
- Em MHS de uma massa ligada a uma mola, a energia total
(constante) é igual à energia potencial máxima na amplitude, que é
onde
é a constante da mola e
a amplitude. Aqui:
-
é a energia total (em joules), -
é a constante elástica da mola (em N/m), -
é a amplitude (em m). -
A constante
e a massa relacionam-se com por
Expliquei: para um sistema massa-mola sem amortecimento,
, daí
.
Passo 5
Substituir
em
e isolar
.
- Substituindo
na expressão da energia:
- Isolando
:
- Portanto
Passo 6
Substituir os valores numéricos e simplificar sem pular etapas.
-
Já temos
, e . -
Calcular
:
- Calcular o produto
:
Detalhe:
, por isso fica
.
- Agora calcular
:
- Cancelando
no numerador e denominador fica
- Portanto
Passo 7
Extrair a raiz quadrada e apresentar o resultado com unidades.
-
Calcular
. Podemos reescrever (mesma quantidade) e lembrar que , porque . -
Logo
- Interpretação rápida: a amplitude é
. Respire fundo — número agradável e coerente com os dados.