3- Luz incide do ar sob um ângulo de 62.7^{\circ}, em relação à normal de uma interface com um material plástico transparente, é refratado em 48.1^{\circ}. (a) Calcule a velocidade da luz nesse material. (b) Calcule o ângulo de reflexão interna total para um feixe emergindo do plástico para o ar.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e faz duas perguntas.\n
Dados: \n
  • Ângulo de incidência (no ar): \theta_{1}=62{,}7^\circ.\n
  • Ângulo de refração (no plástico): \theta_{2}=48{,}1^\circ.\n
  • O raio de luz vem do ar e entra no plástico.\n
    Perguntas: \n
    (a) Calcular a velocidade da luz no material plástico.\n
    (b) Calcular o ângulo crítico (ângulo de reflexão interna total) para um feixe saindo do plástico para o ar.\n

Passo 2

Entender a relação que precisamos usar (a “fórmula” básica aqui).\n
Quando um raio passa de um meio 1 para um meio 2, os ângulos medidos em relação à normal obedecem à lei de Snell:
n_{1}\,\sin\theta_{1}=n_{2}\,\sin\theta_{2},
onde \,n_{1} e \,n_{2} são os índices de refração dos meios 1 e 2 respectivamente, e \theta_{1},\theta_{2} os ângulos medidos em relação à normal.\n
Também precisamos lembrar o significado de índice de refração: \n
n=\frac{c}{v},
onde c é a velocidade da luz no vácuo (usamos c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}) e v é a velocidade da luz no meio. Assim, se acharmos n_{2} do plástico, obtemos v por v=c/n_{2}.\n

Passo 3

Aplicar Snell ao caso dado e isolar n_{2}.\n
Aqui o meio 1 é o ar; tomamos n_{1}\approx1 (o ar tem índice muito próximo de 1). Substituindo na lei de Snell:
1\cdot\sin\theta_{1}=n_{2}\,\sin\theta_{2}\quad\Rightarrow\quad n_{2}=\frac{\sin\theta_{1}}{\sin\theta_{2}}.
Agora calculamos os senos (uso aproximações por séries pequenas ou valores tabelados; aqui apresento os valores numéricos usados):
\sin(62{,}7^\circ)\approx0{,}8886305,\qquad \sin(48{,}1^\circ)\approx0{,}7443118.
Portanto
n_{2}=\frac{0{,}8886305}{0{,}7443118}\approx1{,}19398\approx1{,}194.
Interpretação: o plástico tem índice de refração n_{2}\approx1{,}194.\n

Passo 4

Encontrar a velocidade v no plástico a partir de n_{2}.\n
Usando n=\dfrac{c}{v}, isolamos v:
v=\frac{c}{n_{2}}.
Substituindo c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e n_{2}\approx1{,}19398:
v=\frac{3{,}00\times10^{8}}{1{,}19398}\\ \mathrm{m/s}\approx2{,}5128\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com três algarismos significativos (coerente com os dados angulares), fica
v\approx2{,}51\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Derivar a expressão para o ângulo crítico e calcular numericamente.\n
O ângulo crítico \theta_{c} para a passagem do meio 2 (plástico) para o meio 1 (ar) é o valor de \theta no plástico tal que o raio refratado no ar sai tangente à superfície (isto é, ângulo de refração igual a 90^\circ). Aplicando Snell com \theta_{2}=\theta_{c} e \theta_{1,\text{ar}}=90^\circ:
n_{2}\sin\theta_{c}=n_{1}\sin90^\circ=n_{1}\cdot1\quad\Rightarrow\quad \sin\theta_{c}=\frac{n_{1}}{n_{2}}.
Como n_{1}\approx1,
\sin\theta_{c}=\frac{1}{n_{2}}\approx\frac{1}{1{,}19398}\approx0{,}8373.
Tomando arcoseno:
\theta_{c}=\arcsin(0{,}8373)\approx56{,}9^\circ.
Interpretação: para ângulos no plástico maiores que \theta_{c}\approx56{,}9^\circ ocorrerá reflexão interna total ao tentar sair para o ar.\n

Resposta

(a) v\approx2{,}51\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}\n
(b) \theta_{c}\approx56{,}9^\circ

Exercícios relacionados