A região na qual 4<r<5,0<\theta<25^{\circ} \mathrm{e} 0,9 \pi<\varphi< 1,1 \pi contém uma densidade volumétrica de carga \rho_{v}= 10(r-4)(r-5) \operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \frac{1}{2} \varphi. Fora desta região, \rho_{v}= 0 . Determine a carga dentro desta região.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a carga total contida na região descrita.
Informações dadas (vou listar tudo claramente):
  • A região é dada por 4<r<5, 0<\theta<25^\circ e 0,9\pi<\varphi<1,1\pi.
  • A densidade volumétrica dentro dessa região é \rho_v = 10(r-4)(r-5)\sin\theta\sin\!\frac{\varphi}{2}.
  • Fora dessa região temos \rho_v=0.
Portanto a tarefa é calcular a carga
Q=\iiint_{\text{região}} \rho_v\,dVã
usando os limites acima.

Passo 2

Escolhendo a forma de integrar e escrevendo o elemento de volume: como as variáveis r,\theta,\varphi aparecem explicitamente e os limites estão dados em termos delas, vamos integrar em coordenadas esféricas. O elemento de volume em coordenadas esféricas (convencional, com \theta ângulo polar medido a partir do eixo z e \varphi azimute) é
dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Aqui r é a distância radial, \theta é o ângulo polar (varia de 0 a \pi), e \varphi é o ângulo azimutal (varia de 0 a 2\pi). O motivo: quando se constrói um pequeno volume esférico a variação em r dá comprimento dr, em \theta dá arco r\,d\theta e em \varphi dá arco r\sin\theta\,d\varphi; multiplicando resulta r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Então a carga total é
Q=\int_{\varphi=0,9\pi}^{1,1\pi}\int_{\theta=0}^{25^\circ}\int_{r=4}^{5} 10(r-4)(r-5)\sin\theta\sin\!\frac{\varphi}{2}\; r^{2}\sin\theta\;dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

Separei a integral em fatores (a integranda é produto de funções que dependem separadamente de r, \theta e \varphi), então podemos escrever
Q = \left(\int_{4}^{5} 10(r-4)(r-5) r^{2}\,dr\right) \left(\int_{0}^{25^\circ} \sin^{2}\theta\,d\theta\right) \left(\int_{0,9\pi}^{1,1\pi} \sin\!\frac{\varphi}{2}\,d\varphi\right).
Vou calcular cada uma dessas três integrais em ordem.

Passo 4

Cálculo da integral radial
I_r=\int_{4}^{5} 10(r-4)(r-5) r^{2}\,dr.
Primeiro expandimos o polinômio:
(r-4)(r-5)=r^{2}-9r+20,
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10(r-4)(r-5)r^{2}=10\big(r^{4}-9r^{3}+20r^{2}\big)=10r^{4}-90r^{3}+200r^{2}.
Integramos termo a termo (regra: \int r^{n}\,dr = r^{n+1}/(n+1)):
\int 10r^{4}\,dr = 10\cdot\frac{r^{5}}{5}=2r^{5},
\int -90r^{3}\,dr = -90\cdot\frac{r^{4}}{4}=-\frac{90}{4}r^{4}=-\frac{45}{2}r^{4},
\int 200r^{2}\,dr = 200\cdot\frac{r^{3}}{3}=\frac{200}{3}r^{3}.
Portanto a primitiva é
F(r)=2r^{5}-\frac{45}{2}r^{4}+\frac{200}{3}r^{3}.
Avaliando de r=4 a r=5:
I_r = F(5)-F(4).
Agora calculamos F(5) e F(4):
F(5)=2\cdot5^{5}-\dfrac{45}{2}\cdot5^{4}+\dfrac{200}{3}\cdot5^{3} =6250-\dfrac{28125}{2}+\dfrac{25000}{3}=\dfrac{3125}{6}.
F(4)=2\cdot4^{5}-\dfrac{45}{2}\cdot4^{4}+\dfrac{200}{3}\cdot4^{3} =2048-5760+\dfrac{12800}{3}=\dfrac{1664}{3}.
Subtraindo:
I_r = \frac{3125}{6}-\frac{1664}{3}=\frac{3125-3328}{6}=-\frac{203}{6}.
Observação: o sinal negativo é esperado porque para r entre 4 e 5 temos (r-4)>0 e (r-5)<0, então (r-4)(r-5)<0.

Passo 5

Cálculo da integral em \theta:
I_\theta=\int_{0}^{25^\circ} \sin^{2}\theta\,d\theta.
Usamos a identidade de redução
\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2},
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\int \sin^{2}\theta\,d\theta = \int \frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{\theta}{2}-\frac{\sin(2\theta)}{4}+C.
Os limites: 25^\circ = \dfrac{5\pi}{36} (pois 25^\circ=25\pi/180=5\pi/36). Avaliando de 0 a \dfrac{5\pi}{36}:
I_\theta = \left(\frac{\theta}{2}-\frac{\sin(2\theta)}{4}\right)\Bigg|_{0}^{5\pi/36} = \frac{5\pi}{72}-\frac{\sin\!\big(2\cdot\frac{5\pi}{36}\big)}{4}.
Simplificando o argumento do seno: 2\cdot\frac{5\pi}{36}=\frac{5\pi}{18}. Assim
I_\theta = \frac{5\pi}{72}-\frac{\sin\!\big(\frac{5\pi}{18}\big)}{4}.

Passo 6

Cálculo da integral em \varphi:
I_\varphi=\int_{0,9\pi}^{1,1\pi} \sin\!\frac{\varphi}{2}\;d\varphi.
Fazemos substituição u=\dfrac{\varphi}{2}, então d\varphi=2\,du. Os limites em u são u_1=0,9\pi/2=0{,}45\pi e u_2=1{,}1\pi/2=0{,}55\pi. Assim
I_\varphi = \int_{u_1}^{u_2} \sin u \cdot 2\,du = 2\big(-\cos u\big)\Big|_{u_1}^{u_2} =2\big(\cos u_1-\cos u_2\big).
Com u_1=0{,}45\pi=\tfrac{9\pi}{20} e u_2=0{,}55\pi=\tfrac{11\pi}{20}, usamos a identidade de soma para simplificar:
\cos a - \cos b = -2\sin\!\frac{a+b}{2}\sin\!\frac{a-b}{2}.
Aplicando com a=u_1 e b=u_2:
\cos u_1-\cos u_2 = -2\sin\!\frac{u_1+u_2}{2}\sin\!\frac{u_1-u_2}{2}.
Aqui \dfrac{u_1+u_2}{2}=\dfrac{0{,}45\pi+0{,}55\pi}{2}=\dfrac{0{,}5\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2} e \dfrac{u_1-u_2}{2}=-\dfrac{\pi}{20}. Assim
\cos u_1-\cos u_2 = -2\sin\!\frac{\pi}{2}\sin\!\left(-\frac{\pi}{20}\right) = -2\cdot 1\cdot\left(-\sin\frac{\pi}{20}\right)=2\sin\frac{\pi}{20}.
Portanto
I_\varphi = 2\big(\cos u_1-\cos u_2\big) = 2\cdot 2\sin\frac{\pi}{20} = 4\sin\frac{\pi}{20}.

Passo 7

Juntando tudo: Q = I_r \, I_\theta \, I_\varphi. Substituindo os valores que encontramos:
I_r = -\frac{203}{6},\qquad I_\theta = \frac{5\pi}{72}-\frac{\sin\!\big(\frac{5\pi}{18}\big)}{4},\qquad I_\varphi = 4\sin\frac{\pi}{20}.
Multiplicando I_\theta por I_\varphi simplifica porque o 4 cancela com o denominador 4 no segundo termo:
I_\theta I_\varphi = 4\sin\frac{\pi}{20}\left(\frac{5\pi}{72}-\frac{\sin\!\big(\frac{5\pi}{18}\big)}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{20}\left(\frac{20\pi}{72}-\sin\!\frac{5\pi}{18}\right).
Simplificando \dfrac{20\pi}{72}=\dfrac{5\pi}{18}, obtemos
I_\theta I_\varphi = \sin\frac{\pi}{20}\left(\frac{5\pi}{18}-\sin\!\frac{5\pi}{18}\right).
Portanto
Q = -\frac{203}{6}\cdot \sin\frac{\pi}{20}\left(\frac{5\pi}{18}-\sin\!\frac{5\pi}{18}\right).

Passo 8

Interpretação e valor numérico: a expressão anterior é a forma exata. Vamos também dar uma aproximação numérica para facilitar conferência. Usando \sin\frac{\pi}{20}\approx 0{,}1564344650 e \sin\frac{5\pi}{18}=\sin 50^\circ\approx 0{,}7660444431 e \frac{5\pi}{18}\approx 0{,}8726646260, temos
\frac{5\pi}{18}-\sin\frac{5\pi}{18}\approx 0{,}1066201829,
multiplicando por \sin\frac{\pi}{20} \approx 0{,}01667909. Multiplicando por -\dfrac{203}{6}\approx -33{,}83333 obtemos
Q\approx -0{,}5643.
(O sinal negativo indica que a carga total na região é negativa, porque a densidade é negativa em maior parte da região.)

Resposta

Q = -\frac{203}{6}\,\sin\!\frac{\pi}{20}\left(\frac{5\pi}{18}-\sin\!\frac{5\pi}{18}\right)\approx -0{,}5643

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