A região na qual 4<r<5,0<\theta<25^{\circ} \mathrm{e} 0,9 \pi<\varphi< 1,1 \pi contém uma densidade volumétrica de carga \rho_{v}= 10(r-4)(r-5) \operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \frac{1}{2} \varphi. Fora desta região, \rho_{v}= 0 . Determine a carga dentro desta região.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a carga total contida na região descrita.
Informações dadas (vou listar tudo claramente):
A região é dada por 4<r<5, 0<\theta<25^\circ e 0,9\pi<\varphi<1,1\pi.
A densidade volumétrica dentro dessa região é \rho_v = 10(r-4)(r-5)\sin\theta\sin\!\frac{\varphi}{2}.
Fora dessa região temos \rho_v=0.
Portanto a tarefa é calcular a carga
Q=\iiint_{\text{região}} \rho_v\,dV
usando os limites acima.
Passo 2
Escolhendo a forma de integrar e escrevendo o elemento de volume: como as variáveis r,\theta,\varphi aparecem explicitamente e os limites estão dados em termos delas, vamos integrar em coordenadas esféricas. O elemento de volume em coordenadas esféricas (convencional, com \theta ângulo polar medido a partir do eixo z e \varphi azimute) é
dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Aqui r é a distância radial, \theta é o ângulo polar (varia de 0 a \pi), e \varphi é o ângulo azimutal (varia de 0 a 2\pi). O motivo: quando se constrói um pequeno volume esférico a variação em r dá comprimento dr, em \theta dá arco r\,d\theta e em \varphi dá arco r\sin\theta\,d\varphi; multiplicando resulta r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Interpretação e valor numérico: a expressão anterior é a forma exata. Vamos também dar uma aproximação numérica para facilitar conferência. Usando \sin\frac{\pi}{20}\approx 0{,}1564344650 e \sin\frac{5\pi}{18}=\sin 50^\circ\approx 0{,}7660444431 e \frac{5\pi}{18}\approx 0{,}8726646260, temos