Encontre a energia interna de
mols de um gás ideal diatômico e, em seguida, encontre a relação entre a capacidade calorífica à pressão constante e a capacidade calorífica a volume constante.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Encontrar a energia interna de
mols de um gás ideal diatômico. - Encontrar a relação entre a capacidade calorífica à pressão constante e a capacidade calorífica a volume constante.
Informações dadas (ou claramente assumidas no enunciado):
- Temos
mols de um gás ideal diatômico. - O gás é ideal (portanto satisfaz a equação de estado dos gases ideais).
- Não foi dito nada sobre altas temperaturas ou excitação vibracional; portanto assumimos a situação usual em termodinâmica básica em que os modos vibracionais estão “congelados” (ou seja, não contribuem), ficando apenas graus de liberdade translatórios e rotacionais.
Passo 2
Conceitos básicos e a ferramenta que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas).
Equipartição de energia:
- A teoria da equipartição diz que, em equilíbrio térmico clássico, cada grau de liberdade quadrático contribui com energia média
por molécula, onde é a constante de Boltzmann e a temperatura absoluta. - Para uma mole de gás, a constante de Boltzmann
se transforma na constante dos gases via , onde é o número de Avogadro. Assim, cada grau de liberdade contribui com energia média molar .
Graus de liberdade de uma molécula diatômica (explicação passo a passo):
- Translação: uma molécula em 3D tem três graus de liberdade de translação (movimento em
). Cada um é quadrático na energia cinética → contribuem com vezes por mol. - Rotação: uma molécula diatômica rígida tem duas rotações efetivas (em torno de dois eixos perpendiculares ao eixo molecular); a rotação em torno do eixo ligante geralmente tem momento de inércia muito pequeno e, à temperatura normal, contribui desprezivelmente. Logo, são
graus de liberdade de rotação que contribuem com vezes por mol. - Vibracões: cada modo vibracional fornece duas contribuições quadráticas (cinética + potencial), totalizando
por modo; mas assumimos que estes modos estão congelados (não excitados) na temperatura considerada, então não os contamos.
Portanto, no caso clássico e usual, o número total de graus de liberdade efetivos para um diatômico é
Passo 3
Derivação da energia interna usando equipartição (passo a passo).
Energia interna total de
mols:
- A energia interna
de um gás ideal vem da energia cinética molecular. Pela equipartição, a energia molar interna (energia por mol) é
onde
é a energia por mol,
o número de graus de liberdade,
a constante dos gases e
a temperatura.
- Para
mols, a energia interna total é
Aplicando ao diatômico com
(caso usual, vibracionais congelados):
Comentários práticos:
- Se a temperatura fosse suficientemente alta para excitar modos vibracionais, então
aumentaria (por exemplo, adicionando por modo vibracional excitado), e a fórmula geral continuaria válida, só mudaria o valor de .
Passo 4
Definição de capacidades caloríficas e relação entre elas (derivação detalhada).
Definições:
- A capacidade calorífica a volume constante (capacidade calorífica total) é
- A capacidade calorífica à pressão constante é
onde
é a entalpia do sistema,
.
Para um gás ideal:
- A equação de estado é
. - Portanto, a entalpia é
- Diferenciando em relação a
(à pressão constante),
- Mas para um gás ideal
depende apenas de (não depende de ou separadamente), então . Logo obtemos a relação de Mayer:
Expressando em termos de graus de liberdade (usando a expressão de
encontrada):
- Já vimos que
, então
- Assim
Razão entre
e
:
- O quociente é então
- Para
(dissolvendo os números):
Passo 5
Recapitulando em linguagem prática (o que levar para a prova):
- Use a equipartição: energia por mol
. - Conte bem os graus de liberdade (três translação, duas rotações para diatômico usual).
- A energia interna total de
mols é ; para diatômico usual . - A relação de Mayer para gás ideal:
. A razão geral é . Para diatômico usual dá .