Encontre a energia interna de n mols de um gás ideal diatômico e, em seguida, encontre a relação entre a capacidade calorífica à pressão constante e a capacidade calorífica a volume constante.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar a energia interna de n mols de um gás ideal diatômico.
  • Encontrar a relação entre a capacidade calorífica à pressão constante e a capacidade calorífica a volume constante.
Informações dadas (ou claramente assumidas no enunciado):
  • Temos n mols de um gás ideal diatômico.
  • O gás é ideal (portanto satisfaz a equação de estado dos gases ideais).
  • Não foi dito nada sobre altas temperaturas ou excitação vibracional; portanto assumimos a situação usual em termodinâmica básica em que os modos vibracionais estão “congelados” (ou seja, não contribuem), ficando apenas graus de liberdade translatórios e rotacionais.

Passo 2

Conceitos básicos e a ferramenta que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas).
Equipartição de energia:
  • A teoria da equipartição diz que, em equilíbrio térmico clássico, cada grau de liberdade quadrático contribui com energia média \tfrac{1}{2}kT por molécula, onde k é a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta.
  • Para uma mole de gás, a constante de Boltzmann k se transforma na constante dos gases R via R = N_A k, onde N_A é o número de Avogadro. Assim, cada grau de liberdade contribui com energia média molar \tfrac{1}{2}R T.
Graus de liberdade de uma molécula diatômica (explicação passo a passo):
  • Translação: uma molécula em 3D tem três graus de liberdade de translação (movimento em x,y,z). Cada um é quadrático na energia cinética → contribuem com 3 vezes \tfrac{1}{2}R T por mol.
  • Rotação: uma molécula diatômica rígida tem duas rotações efetivas (em torno de dois eixos perpendiculares ao eixo molecular); a rotação em torno do eixo ligante geralmente tem momento de inércia muito pequeno e, à temperatura normal, contribui desprezivelmente. Logo, são 2 graus de liberdade de rotação que contribuem com 2 vezes \tfrac{1}{2}R T por mol.
  • Vibracões: cada modo vibracional fornece duas contribuições quadráticas (cinética + potencial), totalizando 2 por modo; mas assumimos que estes modos estão congelados (não excitados) na temperatura considerada, então não os contamos.
Portanto, no caso clássico e usual, o número total de graus de liberdade efetivos para um diatômico é
f = 3\\ (\text{translação}) + 2\\ (\text{rotação}) = 5.çãçã

Passo 3

Derivação da energia interna usando equipartição (passo a passo).
Energia interna total de n mols:
  • A energia interna U de um gás ideal vem da energia cinética molecular. Pela equipartição, a energia molar interna (energia por mol) é
u = \frac{f}{2} R T,
onde u é a energia por mol, f o número de graus de liberdade, R a constante dos gases e T a temperatura.
  • Para n mols, a energia interna total é
U = n \, u = n \cdot \frac{f}{2} R T.
Aplicando ao diatômico com f=5 (caso usual, vibracionais congelados):
U = n \cdot \frac{5}{2} R T.
Comentários práticos:
  • Se a temperatura fosse suficientemente alta para excitar modos vibracionais, então f aumentaria (por exemplo, adicionando 2 por modo vibracional excitado), e a fórmula geral U = n\frac{f}{2}RT continuaria válida, só mudaria o valor de f.

Passo 4

Definição de capacidades caloríficas e relação entre elas (derivação detalhada).
Definições:
  • A capacidade calorífica a volume constante (capacidade calorífica total) é
C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V.
  • A capacidade calorífica à pressão constante é
C_p = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p,
onde H é a entalpia do sistema, H = U + PV.
Para um gás ideal:
  • A equação de estado é PV = nRT.
  • Portanto, a entalpia é
H = U + PV = U + nRT.
  • Diferenciando em relação a T (à pressão constante),
C_p = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_p + nR.
  • Mas para um gás ideal U depende apenas de T (não depende de V ou P separadamente), então \left(\tfrac{\partial U}{\partial T}\right)_p = \left(\tfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V = C_V. Logo obtemos a relação de Mayer:
C_p = C_V + nR.
Expressando em termos de graus de liberdade (usando a expressão de U encontrada):
  • Já vimos que U = n\frac{f}{2}RT, então
C_V = \frac{\partial U}{\partial T} = n\frac{f}{2}R.
  • Assim
C_p = C_V + nR = n\left(\frac{f}{2} + 1\right)R.
Razão entre C_p e C_V:
  • O quociente é então
\frac{C_p}{C_V} = \frac{\frac{f}{2}+1}{\frac{f}{2}} = \frac{f+2}{f}.
  • Para f=5 (dissolvendo os números):
\frac{C_p}{C_V} = \frac{5+2}{5} = \frac{7}{5} = 1{,}4.

Passo 5

Recapitulando em linguagem prática (o que levar para a prova):
  • Use a equipartição: energia por mol \tfrac{f}{2}RT.
  • Conte bem os graus de liberdade (três translação, duas rotações para diatômico usual).
  • A energia interna total de n mols é U = n\frac{f}{2}RT; para diatômico usual f=5.
  • A relação de Mayer para gás ideal: C_p = C_V + nR. A razão geral é \dfrac{C_p}{C_V}=\dfrac{f+2}{f}. Para diatômico usual dá \dfrac{7}{5}.

Resposta

\displaystyle U = \frac{5}{2}\,nRT
\displaystyle C_p = C_V + nR,\quad \frac{C_p}{C_V}=\frac{7}{5}

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