(2) Luz não polarizada, de intensidade 10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, incide sobre duas películas polarizadoras. Os eixos de transmissāo das lâminas polarizadoras fazem entre si um ângulo de 60^{\circ}. Um terceiro polarizador é introduzido entre os dois outros, de modo que o seu eixo de transmissão faz um ângulo 0=15^{\circ} \mathrm{com} o eixo de transmissão do primeiro. Achar a intensidade da luz transmitida através dos três polarizadores.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a intensidade final transmitida:
  • A luz é inicialmente não polarizada com intensidade I_0 = 10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  • Existem duas películas polarizadoras com eixos de transmissão formando entre si um ângulo de 60^\circ.
  • Um terceiro polarizador é inserido entre os dois, com o seu eixo formando um ângulo de 15^\circ em relação ao eixo do primeiro polarizador.
  • Pergunta: qual é a intensidade da luz transmitida ao sair pelos três polarizadores, na ordem primeiro → terceiro → segundo?

Passo 2

O que acontece ao passar luz não polarizada por um polarizador (o primeiro)?
  • Informação importante: luz não polarizada tem, em média, todas as direções de polarização igualmente prováveis. Um polarizador ideal deixa passar apenas a componente do campo elétrico alinhada ao seu eixo.
  • Resultado prático (regra usada em muitos exercícios): a intensidade transmitida por um polarizador para luz não polarizada é metade da intensidade incidente.
  • Em fórmulas: I_1 = \dfrac{I_0}{2}.
  • Aplicando aos números: I_1 = \dfrac{10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2}{2} = 5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  • Interpretação: após o primeiro polarizador a luz está polarizada na direção do eixo do primeiro e tem intensidade 5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 3

Como calcular a transmissão quando luz polarizada incide num polarizador com eixo angularmente deslocado? (Malus)
  • A lei que usamos é a Lei de Malus: para luz polarizada que incide sobre um polarizador cujo eixo faz um ângulo \theta com a direção de polarização da luz, a intensidade transmitida é
I_{\text{out}} = I_{\text{in}} \cos^2\theta.
  • Aqui I_{\text{in}} é a intensidade antes do polarizador, \theta é o ângulo entre a direção de polarização da luz e o eixo de transmissão do polarizador, e \cos^2\theta é a fração da intensidade que passa.
  • Intuição rápida: a componente do campo elétrico na direção do eixo é E\cos\theta; intensidade é proporcional a E^2, daí o \cos^2\theta.
  • Exemplo simples: se \theta=0^\circ passa tudo ( \cos^2 0^\circ=1); se \theta=90^\circ não passa nada ( \cos^2 90^\circ=0).

Passo 4

Determinar os ângulos relevantes entre polarizadores neste problema
  • Eixo do primeiro = referencia 0^\circ.
  • Eixo do terceiro = 15^\circ em relação ao primeiro.
  • Eixo do segundo = 60^\circ em relação ao primeiro (dado).
  • Logo, o ângulo entre terceiro e segundo é \;60^\circ - 15^\circ = 45^\circ.

Passo 5

Aplicar Malus ao terceiro polarizador (segunda película que a luz encontra)
  • Antes do terceiro temos I_1 = 5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 e a luz está polarizada ao longo do eixo do primeiro ( 0^\circ).
  • O terceiro tem eixo em 15^\circ, então o ângulo entre polarização e eixo do terceiro é \theta_2 = 15^\circ.
  • Pela Lei de Malus:
I_2 = I_1 \cos^2 15^\circ.
  • Podemos usar a identidade \cos^2\theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2} para obter um valor exato:
\cos^2 15^\circ = \dfrac{1+\cos 30^\circ}{2} = \dfrac{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \dfrac{2+\sqrt{3}}{4}.
  • Portanto
I_2 = 5 \cdot \dfrac{2+\sqrt{3}}{4}.

Passo 6

Aplicar Malus ao segundo polarizador (terceira película que a luz encontra)
  • Agora a luz tem intensidade I_2 e está polarizada segundo o eixo do terceiro (em 15^\circ).
  • O segundo polarizador tem eixo em 60^\circ, ângulo relativo \theta_3 = 45^\circ (determinamos no Passo 4).
  • Pela Lei de Malus:
I_3 = I_2 \cos^2 45^\circ.
  • Sabemos que \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, então \cos^2 45^\circ = \dfrac{1}{2}.
  • Substituindo I_2:
I_3 = \left(5 \cdot \dfrac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\cdot \dfrac{1}{2} = 5 \cdot \dfrac{2+\sqrt{3}}{8}.
  • Podemos dar o valor numérico: 2+\sqrt{3}\approx 2+1,73205 = 3,73205. Então
I_3 \approx 5 \cdot \dfrac{3,73205}{8} \approx \dfrac{18,66025}{8} \approx 2,33253125\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  • Arredondando razoavelmente: I_3 \approx 2,33\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 7

Resumo e motivação
  • Resultado exato em forma simples: I_{\text{trans}} = 5\cdot\dfrac{2+\sqrt{3}}{8}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  • Valor numérico aproximado: 2,33\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  • Você fez direitinho: primeiro polarizador tira metade da luz; depois aplicamos Malus duas vezes com os ângulos apropriados. Tá indo bem — repetir esse raciocínio em outros exemplos te deixa afiado para a prova!

Resposta

I_{\text{trans}} = 5\cdot\dfrac{2+\sqrt{3}}{8}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 \approx 2,33\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2

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