Seja uma amostra de pequenas pedras e suas massas em gramas abaixo.
20,3 19,8 21,1 20,5 20,8
a) Qual é a estimativa padrão da massa desta amostra?
b) Apresente a estimativa padrão da segunda medida ( 19,8 \mathrm{~g} ).

Passo 1

Dados da amostra (massas em gramas): \,20,3,\;19,8,\;21,1,\;20,5,\;20,8\,.
O enunciado pede:
a) Qual é a estimativa padrão da massa desta amostra?
b) Apresente a estimativa padrão da segunda medida \,19,8\\ \mathrm{g}.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a média amostral (a estimativa pontual do valor da massa). A fórmula da média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o número de observações e x_i são as observações. Aqui n=5. Calculemos a soma:
\sum_{i=1}^{5} x_i = 20,3+19,8+21,1+20,5+20,8 = 102,5.
Logo
\bar{x}=\frac{102,5}{5}=20,5\\ \mathrm{g}.

Passo 3

Agora precisamos da “estimativa padrão”. Em estatística experimental costuma-se distinguir duas coisas úteis:
  • a dispersão das medidas individuais, dada pelo desvio-padrão amostral s;
  • a incerteza na média (erro padrão da média), dada por u(\bar{x})=\dfrac{s}{\sqrt{n}}.
O desvio-padrão amostral é definido por
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2},
onde usamos n-1 no denominador para obter um estimador não viciado da variância da população (explicação: quando estimamos a variância a partir de amostra, perdemos um grau de liberdade por usar a média amostral).

Passo 4

Calculemos as diferenças (x_i-\bar{x}) e seus quadrados:
\begin{aligned} 20,3-20,5 &= -0,2 &\Rightarrow&\\ (-0,2)^2=0,04,\\\\ 19,8-20,5 &= -0,7 &\Rightarrow&\\ (-0,7)^2=0,49,\\\\ 21,1-20,5 &= 0,6 &\Rightarrow&\\ (0,6)^2=0,36,\\\\ 20,5-20,5 &= 0,0 &\Rightarrow&\\ (0,0)^2=0,00,\\\\ 20,8-20,5 &= 0,3 &\Rightarrow&\\ (0,3)^2=0,09. \end{aligned}
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})^2 = 0,04+0,49+0,36+0,00+0,09 = 0,98.
A variância amostral é
s^2=\frac{0,98}{n-1}=\frac{0,98}{4}=0,245.
Portanto o desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{0,245}\approx 0,495\\ \mathrm{g},
porque 0,5^2=0,25 e 0,495^2\approx0,245, logo s\approx0,495\\ \mathrm{g}.

Passo 5

O erro padrão da média (a estimativa padrão da média amostral) é
u(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Aqui \sqrt{n}=\sqrt{5}\approx 2,236. Logo
u(\bar{x})\approx\frac{0,495}{2,236}\approx 0,222\\ \mathrm{g}.
Interpretação prática: s representa a dispersão típica entre medidas individuais; u(\bar{x}) representa a incerteza típica quando reportamos a média como estimativa do valor verdadeiro.

Passo 6

Mapeando para as perguntas:
  • Se por “estimativa padrão da massa desta amostra” o enunciado quer a incerteza associada à média (isto é comum em relatórios experimentais), a resposta é u(\bar{x})\approx0,222\\ \mathrm{g}.
  • A "estimativa padrão da segunda medida \,19,8\\ \mathrm{g}" corresponde à incerteza típica de uma medida individual, que é o desvio-padrão amostral s\approx0,495\\ \mathrm{g}.

Resposta

a) 0,222\\ \mathrm{g}
b) 0,495\\ \mathrm{g}

Exercícios relacionados