A medida da velocidade da luz foi feita por dois grupos de estudantes, sendo os resultados:
(2,92 \pm 0,03) \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \text { e }(3,01 \pm 0,02) \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
a) Em qual nível de confiança esses resultados são compatíveis?
b) Supondo a compatibilidade entre eles, combine os resultados para obter uma nova estimativa.

Passo 1

Dados fornecidos:
x_1=(2,92\pm0,03)\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}
x_2=(3,01\pm0,02)\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}
Perguntas:
  • (a) Em qual nível de confiança esses resultados são compatíveis?
  • (b) Supondo compatibilidade, combine os resultados para obter uma nova estimativa.

Passo 2

Como decidimos compatibilidade (explicação didática):
  • Cada medida x_i tem uma incerteza \sigma_i. Se as incertezas são erros aleatórios gaussianos e as medições são independentes, a diferença \Delta=x_2-x_1 também é uma variável aleatória com desvio padrão dado por
\sigma_{\Delta}=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}.
  • Definimos a razão
z=\frac{|\Delta|}{\sigma_{\Delta}},
que mede quantos “sigma combinados” a diferença representa. Para uma distribuição normal padrão Z, a probabilidade de Z cair entre -z e +z é
\mathrm{CL}=2\Phi(z)-1,
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Essa \mathrm{CL} (confidence level) é a probabilidade de observar uma diferença com magnitude menor ou igual à observada, assumindo que não há diferença sistemática real entre as medições — ou seja, é um nível de compatibilidade. Observação: a probabilidade de obter uma diferença tão extrema (ou mais extrema) é o p-valor bilateral p=1-\mathrm{CL}=2(1-\Phi(z)).

Passo 3

Calculemos passo a passo \Delta, \sigma_{\Delta} e z. Trabalhamos em unidades de 10^{8}\\ \mathrm{m/s} para simplificar:
x_1=2,92,\quad \sigma_1=0,03;\qquad x_2=3,01,\quad \sigma_2=0,02.
Diferença:
\Delta=x_2-x_1=3,01-2,92=0,09.
Desvio padrão da diferença (somando variâncias porque são independentes):
\sigma_{\Delta}=\sqrt{0,03^2+0,02^2}=\sqrt{0,0009+0,0004}=\sqrt{0,0013}\approx0,0360555.
Agora z:
z=\frac{|\Delta|}{\sigma_{\Delta}}=\frac{0,09}{0,0360555}\approx2,497.

Passo 4

Converter z em nível de confiança:
  • Procurando o valor de \Phi(2,497) na tabela da normal ou usando cálculo numérico obtemos aproximadamente \Phi(2,497)\approx0,9937.
  • Assim
\mathrm{CL}=2\Phi(z)-1\approx2\cdot0,9937-1=0,9874.
Convertendo para porcentagem: \mathrm{CL}\approx98,74\%.
Interpretação curta: a diferença observada entre as medidas é compatível com flutuações aleatórias ao nível de aproximadamente 98{,}7\% (o p-valor bilateral é p\approx1{,}26\%, ou seja, há cerca de 1{,}26\% de chance de observar uma diferença tão grande ou maior por mero acaso).

Passo 5

Parte (b): combinação das medições (explicação didática):
  • Quando temos medições independentes com erros gaussianos conhecidos, a combinação ótima (que minimiza variância) é a média ponderada por inverso da variância. Definimos pesos
w_i=\frac{1}{\sigma_i^2}.
  • A média ponderada é
\bar{x}=\frac{\sum_i w_i x_i}{\sum_i w_i}.
  • A incerteza da média ponderada é
\sigma_{\bar{x}}=\frac{1}{\sqrt{\sum_i w_i}}.
  • Aqui x_i e \sigma_i são os valores e incertezas na mesma unidade (usamos 10^{8}\\ \mathrm{m/s} como acima). Essa fórmula vem do fato de que variâncias somam para estimadores lineares e do cálculo do estimador de máxima verossimilhança para gaussianas.

Passo 6

Calculemos os pesos e a média ponderada (em unidades de 10^{8}\\ \mathrm{m/s}):
w_1=\frac{1}{0,03^2}=\frac{1}{0,0009}=\frac{10000}{9}\approx1111{,}1111,
w_2=\frac{1}{0,02^2}=\frac{1}{0,0004}=2500.
Soma dos pesos:
\sum w_i=w_1+w_2=\frac{10000}{9}+2500=\frac{32500}{9}\approx3611{,}1111.
Numerador da média ponderada:
w_1 x_1 + w_2 x_2=\frac{10000}{9}\cdot 2,92 + 2500\cdot 3,01=\frac{29200}{9}+7525=\frac{96925}{9}.
Portanto a média ponderada é
\bar{x}=\frac{\frac{96925}{9}}{\frac{32500}{9}}=\frac{96925}{32500}=2,982307692\ldots
Ou seja,
\bar{x}\approx2,98231 \quad(\text{em unidades }10^{8}\\ \mathrm{m/s}).

Passo 7

Incerteza da média ponderada:
\sigma_{\bar{x}}=\frac{1}{\sqrt{\sum w_i}}=\frac{1}{\sqrt{32500/9}}=\sqrt{\frac{9}{32500}}\approx0,016642.
Em unidades físicas:
\bar{x}=(2,98231\pm0,01664)\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Regras práticas de arredondamento: normalmente reportamos a incerteza com 1 ou 2 algarismos significativos e alinhamos a média com a mesma casa decimal. Tomando uma forma com uma casa significativa na incerteza: 0,01664\to0,02. Então arredondamos a média para a mesma casa decimal:
\bar{x}\approx(2,98\pm0,02)\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Observação final: calculando o \chi^2 para verificar consistência obtemos \chi^2\approx6{,}23 com 1 grau de liberdade (o que indica tensão maior que o esperado), mas como o enunciado pediu para supor compatibilidade, usamos a média ponderada acima.

Resposta

a)\\\ 98{,}74\%\n
b)\\ (2,98\pm0,02)\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}

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