A medida da velocidade da luz foi feita por dois grupos de estudantes, sendo os resultados:
a) Em qual nível de confiança esses resultados são compatíveis?
b) Supondo a compatibilidade entre eles, combine os resultados para obter uma nova estimativa.
b) Supondo a compatibilidade entre eles, combine os resultados para obter uma nova estimativa.
Passo 1
Dados fornecidos:
Perguntas:
- (a) Em qual nível de confiança esses resultados são compatíveis?
- (b) Supondo compatibilidade, combine os resultados para obter uma nova estimativa.
Passo 2
Como decidimos compatibilidade (explicação didática):
- Cada medida
tem uma incerteza . Se as incertezas são erros aleatórios gaussianos e as medições são independentes, a diferença também é uma variável aleatória com desvio padrão dado por
- Definimos a razão
que mede quantos “sigma combinados” a diferença representa. Para uma distribuição normal padrão
, a probabilidade de
cair entre
e
é
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Essa
(confidence level) é a probabilidade de observar uma diferença com magnitude menor ou igual à observada, assumindo que não há diferença sistemática real entre as medições — ou seja, é um nível de compatibilidade. Observação: a probabilidade de obter uma diferença tão extrema (ou mais extrema) é o p-valor bilateral
.
Passo 3
Calculemos passo a passo
,
e
. Trabalhamos em unidades de
para simplificar:
Diferença:
Desvio padrão da diferença (somando variâncias porque são independentes):
Agora
:
Passo 4
Converter
em nível de confiança:
- Procurando o valor de
na tabela da normal ou usando cálculo numérico obtemos aproximadamente . - Assim
Convertendo para porcentagem:
.
Interpretação curta: a diferença observada entre as medidas é compatível com flutuações aleatórias ao nível de aproximadamente (o p-valor bilateral é
, ou seja, há cerca de
de chance de observar uma diferença tão grande ou maior por mero acaso).
Interpretação curta: a diferença observada entre as medidas é compatível com flutuações aleatórias ao nível de aproximadamente
Passo 5
Parte (b): combinação das medições (explicação didática):
- Quando temos medições independentes com erros gaussianos conhecidos, a combinação ótima (que minimiza variância) é a média ponderada por inverso da variância. Definimos pesos
- A média ponderada é
- A incerteza da média ponderada é
- Aqui
e são os valores e incertezas na mesma unidade (usamos como acima). Essa fórmula vem do fato de que variâncias somam para estimadores lineares e do cálculo do estimador de máxima verossimilhança para gaussianas.
Passo 6
Calculemos os pesos e a média ponderada (em unidades de
):
Soma dos pesos:
Numerador da média ponderada:
Portanto a média ponderada é
Ou seja,
Passo 7
Incerteza da média ponderada:
Em unidades físicas:
Regras práticas de arredondamento: normalmente reportamos a incerteza com 1 ou 2 algarismos significativos e alinhamos a média com a mesma casa decimal. Tomando uma forma com uma casa significativa na incerteza:
. Então arredondamos a média para a mesma casa decimal:
Observação final: calculando o
para verificar consistência obtemos
com
grau de liberdade (o que indica tensão maior que o esperado), mas como o enunciado pediu para supor compatibilidade, usamos a média ponderada acima.