A luz natural (não polarizada) com uma intensidade I_{0}=100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} incide em um polarizador ideal. Em seguida, a luz polarizada passa por um analisador cujo eixo de transmissão faz um ângulo de 60^{\circ} com o eixo do primeiro polarizador.
a) Qual é a intensidade da luz após o primeiro polarizador? (Resp: 50 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} )
b) Qual é a intensidade da luz após o analisador? (Resp: 12.5 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2 )

Passo 1

O enunciado dá luz natural (não polarizada) com intensidade I_{0}=100\\ \mathrm{W/m}^{2} que incide em um polarizador ideal. Em seguida essa luz polarizada passa por um analisador cujo eixo de transmissão faz um ângulo de 60^\circ com o eixo do primeiro polarizador. As perguntas são:
(a) Qual é a intensidade da luz após o primeiro polarizador?
(b) Qual é a intensidade da luz após o analisador?
Informações relevantes dadas:
  • Intensidade inicial: I_{0}=100\\ \mathrm{W/m}^{2}.
  • O primeiro elemento é um polarizador ideal que recebe luz não polarizada.
  • O segundo elemento é um analisador (polarizador) com eixo a 60^\circ em relação ao primeiro.

Passo 2

Conceito importante 1 — efeito de um polarizador em luz não polarizada.
Explicação intuitiva e fórmula: luz não polarizada tem componentes de campo elétrico em todas as direções perpendiculares à direção de propagação, com igual probabilidade. Um polarizador ideal seleciona apenas a componente ao longo do seu eixo de transmissão. Se você decompor a contribuição de intensidade em todas as direções e fizer a média, a fração média transmitida por um polarizador ideal para luz não polarizada é 1/2.
Demonstração rápida (muito usada em provas): se a polarização da luz incidente forma um ângulo \varphi com o eixo do polarizador, a intensidade transmitida para essa componente é proporcional a \cos^{2}\varphi. Para luz não polarizada \varphi é distribuído uniformemente, portanto a média de \cos^{2}\varphi é
\langle \cos^{2}\varphi\rangle=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi\,d\varphi=\frac{1}{2}.
Logo, para luz não polarizada a intensidade transmitida por um polarizador ideal é
I=\frac{1}{2}I_{0}.

Passo 3

Aplicando o conceito do Passo 2 ao nosso caso: a intensidade após o primeiro polarizador (chamemos de I_{1}) é metade da intensidade inicial I_{0}. Assim
I_{1}=\frac{1}{2}I_{0}.
Substituindo I_{0}=100\\ \mathrm{W/m}^{2} obtemos
I_{1}=\frac{1}{2}\cdot 100\\ \mathrm{W/m}^{2}=50\\ \mathrm{W/m}^{2}.

Passo 4

Conceito importante 2 — Lei de Malus (quando a luz já está polarizada).
Explicação didática: se uma luz já polarizada com intensidade I_{\text{in}} atravessa um polarizador cujo eixo faz um ângulo \theta com a direção de polarização da luz incidente, o campo elétrico é projetado no eixo do polarizador com fator \cos\theta. Como intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico, a intensidade transmitida é proporcional a \cos^{2}\theta. Essa relação é a Lei de Malus:
I_{\text{out}}=I_{\text{in}}\cos^{2}\theta.
Aqui I_{\text{in}} é a intensidade antes do analisador, \theta é o ângulo entre eixos de polarização, e I_{\text{out}} é a intensidade após o analisador.

Passo 5

Aplicando a Lei de Malus ao nosso problema: a luz que chega ao analisador tem intensidade I_{1}=50\\ \mathrm{W/m}^{2} (do Passo 3) e o ângulo entre eixos é \theta=60^\circ. Portanto a intensidade após o analisador (chamemos de I_{2}) é
I_{2}=I_{1}\cos^{2}60^\circ.
Sabemos que \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}, logo \cos^{2}60^\circ=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}. Substituindo,
I_{2}=50\\ \mathrm{W/m}^{2}\times \frac{1}{4}=12{,}5\\ \mathrm{W/m}^{2}.

Passo 6

Checagem rápida e interpretação final: podemos pensar diretamente em dois passos combinados: primeiro polarizador reduz para metade ( 100\to50), depois o analisador aplica \cos^{2}60^\circ=1/4 sobre esses 50, resultando em 50/4=12{,}5. Se o ângulo tivesse sido 90^\circ a intensidade final seria zero; se fosse 0^\circ a intensidade final seria 50\\ \mathrm{W/m}^{2} (sem perda extra).

Resposta

\text{(a)}\;50\\ \mathrm{W/m}^{2}
\text{(b)}\;12{,}5\\ \mathrm{W/m}^{2}

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