Uma luz ultravioleta com freqüência de 1,25 \times 10^{15} \mathrm{~s}^{-1} incide sobre uma superfície de cálcio metálica e elétrons são ejetados da superfície.
\left(c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right) e \left(h=6,64.10^{-34} J . s\right)
i. Calcule a energia cinética do elétron ejetado se o comprimento de onda da função trabalho do cálcio é 4,58 \times 10^{-7} \mathrm{~J}.
ii. Qual a velocidade do elétron ejetado?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (i) calcular a energia cinética do elétron ejetado;
  • (ii) calcular a velocidade do elétron ejetado.
Informações dadas (peguei do enunciado):
  • frequência da luz: \nu = 1{,}25 \times 10^{15}\\ \mathrm{s^{-1}};
  • constantes: c = 3 \times 10^{8}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}} e h = 6{,}64\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • o enunciado escreve um valor associado à “função trabalho” como 4{,}58\times10^{-7}\\ \mathrm{J}. Aqui há uma inconsistência de unidades: normalmente uma função trabalho é dada em joules (ou eV) OU é dada uma comprimento de onda correspondente em metros. Se interpretarmos literalmente como energia, \varphi = 4{,}58\times10^{-7}\\ \mathrm{J} seria enorme comparada à energia do fóton (o que tornaria a ejeção impossível). Como isso não faz sentido físico nem comumente aparece em exercícios, vou assumir que o valor fornecido é na verdade um comprimento de onda associado à função trabalho: \lambda_{\varphi} = 4{,}58\times10^{-7}\\ \mathrm{m} (isto é, 4{,}58\times10^{-7} metros = 458\\ \mathrm{nm}). Aviso que essa é uma hipótese razoável e comum em problemas desse tipo; procederei com essa interpretação.
O plano (resumido): calcular a energia do fóton \,E_{\mathrm{fóton}}=h\nuó, calcular a função trabalho \varphi = \dfrac{hc}{\lambda_{\varphi}}, obter a energia cinética \,K = E_{\mathrm{fóton}}-\varphió (se positiva) e então usar \,K=\tfrac{1}{2}m_e v^2 para achar v.

Passo 2

Breve revisão da física usada (fotoelétrico, passo a passo):
  • Um fóton de frequência \nu tem energia dada por
E_{\mathrm{fóton}} = h\nu,ó
onde h é a constante de Planck e \nu a frequência. Aqui \,E_{\mathrm{fóton}}ó tem unidades de joules.
  • A função trabalho \varphi é a energia mínima necessária para arrancar um elétron da superfície (também em joules). Se em vez de \varphi for dado o comprimento de onda \lambda_{\varphi} correspondente, usa-se
\varphi = \frac{hc}{\lambda_{\varphi}},
pois E=hc/\lambda.
  • Se o fóton entrega mais energia que a função trabalho, a energia cinética máxima do elétron é
K = E_{\mathrm{fóton}} - \varphi.ó
  • A velocidade máxima do elétron relaciona-se com a energia cinética clássica (não relativística) por
K = \frac{1}{2} m_e v^2,
onde m_e é a massa do elétron. Para elétrons com energias típicas de fotoelétrons neste problema, a aproximação não relativística é válida.

Passo 3

Calcular a energia do fóton usando \,E_{\mathrm{fóton}} = h \nuó.
E_{\mathrm{fóton}} = (6{,}64\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s})\cdot(1{,}25\times10^{15}\\ \mathrm{s^{-1}}).ó
Fazendo as contas:
6{,}64\times1{,}25 = 8{,}30,
e os expoentes 10^{-34}\cdot10^{15}=10^{-19}. Logo
E_{\mathrm{fóton}} = 8{,}30\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó

Passo 4

Calcular a função trabalho \varphi a partir do comprimento de onda assumido \lambda_{\varphi} = 4{,}58\times10^{-7}\\ \mathrm{m} com \varphi = \dfrac{hc}{\lambda_{\varphi}}.
\varphi = \frac{(6{,}64\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s})\cdot(3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}})}{4{,}58\times10^{-7}\\ \mathrm{m}}.
Calcule o numerador primeiro:
6{,}64\times10^{-34}\times3{,}00\times10^{8} = 1{,}992\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Agora divida por 4{,}58\times10^{-7}:
\varphi = \frac{1{,}992\times10^{-25}}{4{,}58\times10^{-7}} = \left(\frac{1{,}992}{4{,}58}\right)\times10^{-25+7}.
\frac{1{,}992}{4{,}58}\approx 0{,}4347,
portanto
\varphi \approx 4{,}347\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular a energia cinética máxima do elétron:
K = E_{\mathrm{fóton}} - \varphi.ó
Substituindo os valores encontrados:
K = 8{,}30\times10^{-19}\\ \mathrm{J} - 4{,}347\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = 3{,}953\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Para intuição, converter para elétron-volts ( 1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}):
K \approx \frac{3{,}953\times10^{-19}}{1{,}602\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV} \approx 2{,}47\\ \mathrm{eV}.

Passo 6

Calcular a velocidade do elétron a partir de K = \tfrac{1}{2} m_e v^2. Isolando v:
v = \sqrt{\frac{2K}{m_e}}.
Usar m_e = 9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg} (massa do elétron).
Substituindo K = 3{,}953\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
v = \sqrt{\frac{2\cdot 3{,}953\times10^{-19}\\ \mathrm{J}}{9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}}} = \sqrt{\frac{7{,}906\times10^{-19}}{9{,}11\times10^{-31}}}.
Calcule a razão:
\frac{7{,}906\times10^{-19}}{9{,}11\times10^{-31}} \approx 8{,}679\times10^{11}.
Tomando a raiz quadrada:
v \approx \sqrt{8{,}679\times10^{11}}\\ \mathrm{m\,s^{-1}} \approx 9{,}32\times10^{5}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Esse valor é muito menor que a velocidade da luz, então a aproximação não relativística foi adequada.

Passo 7

Resumo final dos resultados calculados:
  • energia cinética máxima do elétron K \approx 3{,}95\times10^{-19}\\ \mathrm{J} (aprox. 2{,}47\\ \mathrm{eV});
  • velocidade correspondente v \approx 9{,}32\times10^{5}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Força a mais: se a interpretação do dado sobre a função trabalho estiver incorreta (por exemplo se realmente fosse \varphi=4{,}58\times10^{-7}\\ \mathrm{J}), então \varphi seria muito maior que E_{\mathrm{fóton}}ó e nenhum elétron seria ejetado — então a interpretação acima (comprimento de onda) é a única que torna o problema fisicamente consistente.

Resposta

(i) K = 3{,}95\times10^{-19}\\ \mathrm{J} \approx 2{,}47\\ \mathrm{eV}
(ii) v = 9{,}32\times10^{5}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}

Exercícios relacionados