O módulo de elasticidade de um aço é 205000 MPa . De quanto será estendido um fio desse aço com diâmetro de 2,5 \mathrm{~mm} e comprimento inicial de 3 m ao suportar uma carga de 500 kg ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Módulo de elasticidade: E=205000\\ \text{MPa}.
  • Diâmetro do fio: d=2,5\\ \text{mm}.
  • Comprimento inicial: L_0=3\\ \text{m}.
  • Massa aplicada: m=500\\ \text{kg}.
O enunciado pede: calcular a extensão \Delta L do fio quando a carga de 500\\ \text{kg} é aplicada.
Observações de unidade (vou converter tudo para o SI antes de calcular):
  • 1\\ \text{MPa}=10^{6}\\ \text{Pa}. Então vou usar E em pascal.
  • Distâncias em metros, área em \text{m}^2, força em newtons.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando um fio submetido a uma força axial F permanece dentro da região elástica linear, a deformação relativa (deformação unitaria) é dada por:
\varepsilon=\frac{\Delta L}{L_0},
onde \varepsilon é a deformação (sem unidade), \Delta L é a variação de comprimento e L_0 o comprimento inicial.
A relação entre tensão (stress) \sigma e deformação \varepsilon é dada pela Lei de Hooke para materiais elásticos lineares:
\sigma = E\,\varepsilon,
onde \sigma é a tensão (força por área) e E é o módulo de elasticidade (Young).
Como \sigma = \dfrac{F}{A} e \varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L_0}, isolando \Delta L obtemos a fórmula prática:
\Delta L = \frac{F\,L_0}{A\,E}.
Aqui:
  • F é a força (em newtons),
  • L_0 é o comprimento inicial (em metros),
  • A é a área da secção transversal (em \text{m}^2),
  • E é o módulo de elasticidade (em pascal).

Passo 3

Conversões e cálculos preliminares (passo a passo bem detalhado):
Converter E para pascal:
E = 205000\\ \text{MPa} = 205000\times10^{6}\\ \text{Pa}=2{,}05\times10^{11}\\ \text{Pa}.
Converter diâmetro para metros e calcular a área da seção (círculo):
d=2{,}5\\ \text{mm}=2{,}5\times10^{-3}\\ \text{m},
r=\frac{d}{2}=1{,}25\times10^{-3}\\ \text{m},
A=\pi r^{2}=\pi\left(1{,}25\times10^{-3}\right)^{2}.
Calcular numericamente:
r^{2}=(1{,}25\times10^{-3})^{2}=1{,}5625\times10^{-6}\\ \text{m}^{2},
A=\pi\times1{,}5625\times10^{-6}\\ \text{m}^{2}\approx4{,}908738521\times10^{-6}\\ \text{m}^{2}.
Calcular a força aplicada F a partir da massa (usando g=9{,}81\\ \text{m/s}^{2}):
F=m g = 500\times9{,}81\\ \text{N}=4905\\ \text{N}.

Passo 4

Aplicar a fórmula \Delta L = \dfrac{F L_0}{A E} e substituir os valores numéricos (mostrar contas):
Numerador:
F L_0 = 4905\times3 = 14715\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Denominador:
A E \approx (4{,}908738521\times10^{-6})\times(2{,}05\times10^{11})
\quad= (4{,}908738521\times2{,}05)\times10^{(-6+11)}
\quad\approx 10{,}062913968\times10^{5}=1{,}0062913968\times10^{6}\\ \text{N}.
Portanto
\Delta L=\frac{14715}{1{,}0062913968\times10^{6}}\\ \text{m}\approx0{,}01462166\\ \text{m}.
Converter para milímetros (mais intuitivo):
\Delta L\approx0{,}01462166\\ \text{m}\times1000\\ \frac{\text{mm}}{\text{m}} \approx14{,}62166\\ \text{mm}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida (sanity check):
A tensão média no fio é \sigma=F/A\approx \dfrac{4905}{4{,}9\times10^{-6}}\approx9,99\times10^{8}\\ \text{Pa} (cerca de 1{,}0\times10^{9}\\ \text{Pa}). A deformação \varepsilon=\sigma/E\approx \dfrac{1{,}0\times10^{9}}{2{,}05\times10^{11}}\approx0{,}0049 (aprox. 0{,}49\%). Multiplicando por L_0=3\\ \text{m} obtemos cerca de 0{,}0147\\ \text{m}, consistindo com o cálculo anterior. Resultado plausível para aço sob essa carga.

Resposta

\Delta L \approx 0,01462\\ \text{m} \approx 14,62\\ \text{mm}

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