O módulo de elasticidade de um aço é 205000 MPa . De quanto será estendido um fio desse aço com diâmetro de
e comprimento inicial de 3 m ao suportar uma carga de 500 kg ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Módulo de elasticidade:
. - Diâmetro do fio:
. - Comprimento inicial:
. - Massa aplicada:
.
O enunciado pede: calcular a extensão
do fio quando a carga de
é aplicada.
Observações de unidade (vou converter tudo para o SI antes de calcular):
-
. Então vou usar em pascal. - Distâncias em metros, área em
, força em newtons.
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando um fio submetido a uma força axial
permanece dentro da região elástica linear, a deformação relativa (deformação unitaria) é dada por:
onde
é a deformação (sem unidade),
é a variação de comprimento e
o comprimento inicial.
A relação entre tensão (stress)
e deformação
é dada pela Lei de Hooke para materiais elásticos lineares:
onde
é a tensão (força por área) e
é o módulo de elasticidade (Young).
Como
e
, isolando
obtemos a fórmula prática:
Aqui:
-
é a força (em newtons), -
é o comprimento inicial (em metros), -
é a área da secção transversal (em ), -
é o módulo de elasticidade (em pascal).
Passo 3
Conversões e cálculos preliminares (passo a passo bem detalhado):
Converter
para pascal:
Converter diâmetro para metros e calcular a área da seção (círculo):
Calcular numericamente:
Calcular a força aplicada
a partir da massa (usando
):
Passo 4
Aplicar a fórmula
e substituir os valores numéricos (mostrar contas):
Numerador:
Denominador:
Portanto
Converter para milímetros (mais intuitivo):
Passo 5
Interpretação e verificação rápida (sanity check):
A tensão média no fio é
(cerca de
). A deformação
(aprox.
). Multiplicando por
obtemos cerca de
, consistindo com o cálculo anterior. Resultado plausível para aço sob essa carga.