M.8.15 Considere uma partícula de massa mu e momento angular l que se move em uma trajetória descrita pela equação r(theta)=k e^-alpha theta, onde k>0 e alpha>0 são constantes.
(a) Determine a forma da força central F(r). A força é atrativa ou repulsiva?
(b) Sabendo que no instante inicial t=0 a partícula encontra-se na posição theta=0 e possui velocidade angular dottheta=omega>0, determine as equações de movimento para r(t) e theta(t).

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa mu e momento angular l sob ação de uma força central, cuja órbita é
r(theta)=k,e^-alphatheta,
com k>0 e alpha>0.
(a) pede a forma de F(r) e sua natureza (atrativa ou repulsiva).
(b) pede as equações de movimento r(t) e theta(t), sabendo que em t=0 vale theta=0 e dottheta=omega>0.
Para resolver (a) usaremos a fórmula de Binet para forças centrais, e para (b) a conservação do momento angular.

Passo 2

Definimos a variável u(theta)=1/r(theta). A fórmula de Binet diz que
F(r) ;=; -mu,h^2,u^2,l(u + tfracd^2udtheta^2r),
onde h=tfraclmu é o momento angular específico. Aqui
u(theta)=1k,e^alphatheta,
logo
dudtheta=alphak,e^alphatheta=alpha,u, d^2udtheta^2=alpha^2,u

Passo 3

Substituindo em Binet:
u + d^2udtheta^2 = u + alpha^2u = (1+alpha^2),u
Então
F(r) = -mu,l(tfraclmur)^2,u^2,(1+alpha^2),u = -(1+alpha^2),l^2mu,u^3
Como u=1/r, obtemos
F(r) = -;(1+alpha^2),l^2mu,r^3
O sinal negativo indica que a força é dirigida ao centro, ou seja, é atrativa.

Passo 4

Para achar theta(t) usamos a conservação do momento angular:
l = mu,r^2,dottheta Longrightarrow dottheta = lmu,r^2
Como r(theta)=k,e^-alphatheta, em termos de theta isso vira
dottheta = lmu,k^2,e^2alphatheta
No instante inicial t=0 temos theta(0)=0 e dottheta(0)=omega, logo
omega = tfraclmu,k^2.
Então o EDO para theta é
dthetadt = omega,e^2alphatheta,
que se separa em
integral0^theta e^-2alphatheta',dtheta' = integral0^t omega,dt'
A integral no lado esquerdo dá
l[-tfrac12alphae^-2alphatheta'r]0^theta = -12alphal(e^-2alphatheta-1r) = omega,t,
ou seja
e^-2alphatheta = 1 - 2alpha,omega,t Longrightarrow theta(t) = -12alpha,ln!l(1 - 2alpha,omega,tr)

Passo 5

Finalmente,
r(t)=k,e^-alpha,theta(t) = k;l(1 - 2alpha,omega,tr)^tfrac12
Observação: a solução vale enquanto 1-2alphaomega t>0.

Resposta

(a)
F(r) = -;(1+alpha^2),l^2mu,r^3,
força atrativa.
(b)
theta(t) = -12alpha,ln!l(1 - 2alpha,omega,tr), r(t) = k;l(1 - 2alpha,omega,tr)^tfrac12

Exercícios relacionados