M.8.15 Considere uma partícula de massa
e momento angular
que se move em uma trajetória descrita pela equação
, onde
e
são constantes.
(a) Determine a forma da força central
. A força é atrativa ou repulsiva?
(b) Sabendo que no instante inicial
a partícula encontra-se na posição
e possui velocidade angular
, determine as equações de movimento para
e
.
(a) Determine a forma da força central
(b) Sabendo que no instante inicial
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula de massa
e momento angular
sob ação de uma força central, cuja órbita é
com
e
.
(a) pede a forma de e sua natureza (atrativa ou repulsiva).
(b) pede as equações de movimento e
, sabendo que em
vale
e
.
Para resolver (a) usaremos a fórmula de Binet para forças centrais, e para (b) a conservação do momento angular.
(a) pede a forma de
(b) pede as equações de movimento
Para resolver (a) usaremos a fórmula de Binet para forças centrais, e para (b) a conservação do momento angular.
Passo 2
Definimos a variável
. A fórmula de Binet diz que
onde
é o momento angular específico. Aqui
logo
Passo 3
Substituindo em Binet:
Então
Como
, obtemos
O sinal negativo indica que a força é dirigida ao centro, ou seja, é atrativa.
Passo 4
Para achar
usamos a conservação do momento angular:
Como
, em termos de
isso vira
No instante inicial
temos
e
, logo
.
Então o EDO para é
Então o EDO para
que se separa em
A integral no lado esquerdo dá
ou seja
Passo 5
Finalmente,
Observação: a solução vale enquanto
.
Resposta
(a)
força atrativa.
(b)
(b)