(M) Considere mais uma vez o modelo clássico do átomo de Hidrogênio discutido anteriormente. Neste modelo, o elétron (carga - e e massa me ) descreve um movimento circular uniforme de raio a0 e velocidade escalar v em torno do próton.
(a) Determine o momento de dipolo magnético (módulo, direção e sentido) associado ao movimento do elétron em torno do próton.
(b) Determine a razão entre as intensidades do momento de dipolo magnético e o momento angular orbital do elétron. Essa razão é conhecida como razão giromagnética.

Passo 1

O enunciado descreve o modelo clássico do átomo de Hidrogênio em que o elétron (carga -e, massa me) faz movimento circular uniforme de raio a0 e velocidade escalar v em torno do próton. Pedem:
(a) o momento de dipolo magnético associado a esse movimento (módulo, direção e sentido);
(b) a razão giromagnética, ou seja, a relação entre o módulo desse dipolo e o módulo do momento angular orbital do elétron.
Para resolver vamos usar que um elétron em circuito equivale a uma corrente e que o momento de dipolo de um circuito é I vezes a área.

Passo 2

Em movimento circular uniforme o período de revolução vale
T = 2pi a0v
e como em cada volta “passa” a carga -e, a intensidade da corrente em módulo é
I = eT = e,v2pi a0

Passo 3

O módulo do momento de dipolo magnético é
mu = I times (área do círculo) = I ,pi a0^2 = e,v2pi a0;pi a0^2 = e,v,a02 áí

Passo 4

A direção de mu segue a regra da mão direita para o sentido da corrente. Como a carga é negativa, o “sentido da corrente” fica oposto ao sentido real do movimento do elétron. Mas o momento angular orbital
L
aponta, pela regra da mão direita aplicada ao movimento do elétron, em certa direção L. Portanto o vetor dipolo magnético fica antiparalelo a L:
mu = -,mu,L

Passo 5

O módulo do momento angular orbital é
L = me,v,a0
Logo a razão giromagnética em módulo é
gamma = muL = tfrace,v,a02me,v,a0 = e2,me
Levando em conta a orientação vetorial,
gamma = muL = -,e2,me

Resposta

(a) Módulo do momento de dipolo magnético:
mu = e,v,a02.
Direção: normal ao plano orbital, sentido antiparalelo a L, ou seja
mu=-,mu,L
(b) Razão giromagnética (módulo):
gamma=muL=e2,me
Vetorialmente, gamma=-e2,me

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