Um cilindro não-condutor infinitamente longo de raio R tem densidade volumétrica de carga uniforme rho(r)=rho0. Mostre que o campo elétrico é dado por
Er= rho R^22 varepsilon0 r=lambda2 pi varepsilon0 r, & para r>R rho r2 varepsilon0=lambda2 pi varepsilon0 R^2 r, & para r<R

Passo 1

O enunciado fornece um cilindro não-condutor infinito de raio R com densidade volumétrica de carga uniforme rho(r)=rho0. Precisamos determinar o campo elétrico radial E usando a simetria cilíndrica e a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo do campo à carga interna dividida por varepsilon0.

Passo 2

Para explorar a simetria cilíndrica, escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio r e comprimento L. Devido à simetria, o campo aponta somente na direção radial e tem módulo constante na superfície lateral, de modo que o fluxo total é
Phi = oint vec E cdot dvec A = Er,(2pi r L)
A Lei de Gauss afirma
Phi = Qintvarepsilon0,
onde Qint é a carga contida dentro do cilindro gaussiano.

Passo 3

Caso r>R, todo o volume do cilindro de raio R e comprimento L está incluído na superfície gaussiana, logo
Qint = rho0,(pi R^2 L)
Substituindo na Lei de Gauss:
Er,(2pi r L) = rho0,pi R^2 Lvarepsilon0 Longrightarrow Er = rho0,R^22varepsilon0,r
Como lambda = rho0,pi R^2, também podemos escrever
Er = lambda2pi varepsilon0,r

Passo 4

Caso r<R, apenas o volume de raio r contribui para Qint. Assim,
Qint = rho0,(pi r^2 L)
e a Lei de Gauss dá
Er,(2pi r L) = rho0,pi r^2 Lvarepsilon0 Longrightarrow Er = rho0,r2varepsilon0
Reescrevendo em termos de lambda=rho0,pi R^2, obtemos
Er = lambda2pi varepsilon0 R^2,r

Resposta

Er = dfracrho0,R^22varepsilon0,r = dfraclambda2pi varepsilon0,r, & r>R,[6pt] dfracrho0,r2varepsilon0 = dfraclambda2pi varepsilon0,R^2,r, & r<R ]

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