Seja z=\sqrt{x} \cos (y). Determine:
Passo 1
O enunciado fornece a função
. Vou listar claramente o que isso nos dá e o que vou determinar (estou assumindo as perguntas mais comuns para esse tipo de enunciado, já que o enunciado termina em “Determine:”):
- Função dada:
. - Domínio natural:
e . Para derivadas que envolvam potências negativas será conveniente restringir para . - Perguntas que vou resolver passo a passo:
- Calcular as derivadas parciais de primeira ordem
e . - Calcular as derivadas parciais de segunda ordem
, e as mistas , . - Escrever o gradiente
e o diferencial total .
- Calcular as derivadas parciais de primeira ordem
- Observação importante: quando for necessário usar expressões como
ou , elas só estão bem definidas (sem singularidade) para . Em algumas derivadas não existem finitas.
Passo 2
Conceito e estratégia para derivada parcial em relação a
.
- Definição intuitiva: a derivada parcial
é a taxa de variação de quando apenas varia e é mantido fixo. - Procedimento prático: tratar
como constante e derivar a expressão de como uma função de só. - Aplicando ao nosso
: escrever para facilitar a derivação: - Agora derivar em
. A derivada de em relação a é . Como é constante em relação a , multiplica-se: - Em forma com raiz:
válida para .
Passo 3
Conceito e cálculo da derivada parcial em relação a
.
- Definição intuitiva:
é a taxa de variação de quando apenas varia e é mantido fixo. - Procedimento prático: tratar
(ou ) como constante e derivar a parte dependente de . - No nosso caso,
é multiplicador constante quando derivamos em , e a derivada de é . Portanto:
Passo 4
Interpretação rápida dos resultados de primeira ordem e domínio.
- Recapitulando:
- Observação sobre
: tende a infinito quando (a menos que naquele ponto), por isso em geral exigimos para as fórmulas usuais.
Passo 5
Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem em relação a
.
- Aplicar a derivação em
sobre . Lembrar que é constante quando derivamos por . - Derivada de
é . Assim: - Em forma com raiz:
válida para .
Passo 6
Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem em relação a
.
- Partir de
. Aqui é constante ao derivar em . - Derivada de
é . Logo: - Observação simpática: veja que
. Ou seja, a segunda derivada em retorna ; isso é típico quando a dependência em é trigonométrica.
Passo 7
Cálculo das derivadas parciais mistas e verificação da igualdade mista.
- Calcule
. Partindo de , derivando em dá: - Agora calcule
. Partindo de , derivando em dá: - Conclusão: as mistas coincidem:
desde que . Isso está em acordo com o teorema de Clairaut (troca das derivadas mistas) quando é na região considerada.
Passo 8
Gradiente e diferencial total — interpretação e cálculo.
- Gradiente: é o vetor das derivadas parciais e aponta na direção de máxima taxa de aumento. Para
: - Diferencial total
: fornece a aproximação linear da variação de quando e mudam por pequenas quantidades e : ou explicitando as expressões: - Interpretação prática: para mudanças pequenas
e ,
Passo 9
Exemplo numérico rápido (opcional, para fixar a ideia).
- Suponha
e . Então , , . - As derivadas em
valem: - Então, por exemplo, para
e , a aproximação linear dá - Esse exemplo mostra como usar o diferencial para estimar pequenas variações.