Seja z=\sqrt{x} \cos (y). Determine:

Passo 1

O enunciado fornece a função z=\sqrt{x}\cos(y). Vou listar claramente o que isso nos dá e o que vou determinar (estou assumindo as perguntas mais comuns para esse tipo de enunciado, já que o enunciado termina em “Determine:”):
  • Função dada: z=\sqrt{x}\cos(y).
  • Domínio natural: x\ge 0 e y\in\mathbb{R}. Para derivadas que envolvam potências negativas será conveniente restringir para x>0.
  • Perguntas que vou resolver passo a passo:
    1. Calcular as derivadas parciais de primeira ordem \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}.
    2. Calcular as derivadas parciais de segunda ordem \dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2} e as mistas \dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}, \dfrac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}.
    3. Escrever o gradiente \nabla z e o diferencial total dz.
  • Observação importante: quando for necessário usar expressões como x^{-1/2} ou x^{-3/2}, elas só estão bem definidas (sem singularidade) para x>0. Em x=0 algumas derivadas não existem finitas.

Passo 2

Conceito e estratégia para derivada parcial em relação a x.
  • Definição intuitiva: a derivada parcial \dfrac{\partial z}{\partial x} é a taxa de variação de z quando apenas x varia e y é mantido fixo.
  • Procedimento prático: tratar y como constante e derivar a expressão de z como uma função de x só.
  • Aplicando ao nosso z: escrever \sqrt{x}=x^{1/2} para facilitar a derivação: z(x,y)=x^{1/2}\cos(y).
  • Agora derivar em x. A derivada de x^{1/2} em relação a x é \dfrac{1}{2}x^{-1/2}. Como \cos(y) é constante em relação a x, multiplica-se: \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2}x^{-1/2}\cos(y).
  • Em forma com raiz: \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cos(y),válida para x>0.

Passo 3

Conceito e cálculo da derivada parcial em relação a y.
  • Definição intuitiva: \dfrac{\partial z}{\partial y} é a taxa de variação de z quando apenas y varia e x é mantido fixo.
  • Procedimento prático: tratar x (ou \sqrt{x}) como constante e derivar a parte dependente de y.
  • No nosso caso, \sqrt{x} é multiplicador constante quando derivamos em y, e a derivada de \cos(y) é -\sin(y). Portanto: \frac{\partial z}{\partial y}=-\sqrt{x}\,\sin(y).

Passo 4

Interpretação rápida dos resultados de primeira ordem e domínio.
  • Recapitulando: \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2}x^{-1/2}\cos(y),\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\sqrt{x}\,\sin(y).
  • Observação sobre x=0: \dfrac{\partial z}{\partial x} tende a infinito quando x\to 0^+ (a menos que \cos(y)=0 naquele ponto), por isso em geral exigimos x>0 para as fórmulas usuais.

Passo 5

Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem em relação a x.
  • Aplicar a derivação em x sobre \dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}\cos(y). Lembrar que \cos(y) é constante quando derivamos por x.
  • Derivada de x^{-1/2} é -\tfrac{1}{2}x^{-3/2}. Assim: \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{1}{2}\cos(y)\cdot\left(-\frac{1}{2}x^{-3/2}\right)=-\frac{1}{4}x^{-3/2}\cos(y).
  • Em forma com raiz: \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=-\frac{1}{4} \frac{\cos(y)}{x^{3/2}}=-\frac{1}{4x^{3/2}}\cos(y),válida para x>0.

Passo 6

Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem em relação a y.
  • Partir de \dfrac{\partial z}{\partial y}=-\sqrt{x}\sin(y). Aqui \sqrt{x} é constante ao derivar em y.
  • Derivada de -\sin(y) é -\cos(y). Logo: \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=-\sqrt{x}\cos(y).
  • Observação simpática: veja que \dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}=-\sqrt{x}\cos(y)=-z. Ou seja, a segunda derivada em y retorna -z; isso é típico quando a dependência em y é trigonométrica.

Passo 7

Cálculo das derivadas parciais mistas e verificação da igualdade mista.
  • Calcule \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right). Partindo de \dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}\cos(y), derivando em y dá: \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=\frac{1}{2}x^{-1/2}\cdot(-\sin(y))=-\frac{1}{2}x^{-1/2}\sin(y).
  • Agora calcule \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right). Partindo de \dfrac{\partial z}{\partial y}=-\sqrt{x}\sin(y), derivando em x dá: \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=-\sin(y)\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=-\frac{1}{2}x^{-1/2}\sin(y).
  • Conclusão: as mistas coincidem: \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=-\frac{1}{2}x^{-1/2}\sin(y),desde que x>0. Isso está em acordo com o teorema de Clairaut (troca das derivadas mistas) quando z é C^2 na região considerada.

Passo 8

Gradiente e diferencial total — interpretação e cálculo.
  • Gradiente: é o vetor das derivadas parciais e aponta na direção de máxima taxa de aumento. Para z: \nabla z=\left(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\left(\frac{1}{2}x^{-1/2}\cos(y),\; -\sqrt{x}\sin(y)\right).
  • Diferencial total dz: fornece a aproximação linear da variação de z quando x e y mudam por pequenas quantidades dx e dy: dz=\frac{\partial z}{\partial x}\,dx+\frac{\partial z}{\partial y}\,dyou explicitando as expressões: dz=\frac{1}{2}x^{-1/2}\cos(y)\,dx-\sqrt{x}\sin(y)\,dy.
  • Interpretação prática: para mudanças pequenas \Delta x e \Delta y, \Delta z \approx dz=\frac{1}{2}x^{-1/2}\cos(y)\,\Delta x-\sqrt{x}\sin(y)\,\Delta y.

Passo 9

Exemplo numérico rápido (opcional, para fixar a ideia).
  • Suponha x=4 e y=\dfrac{\pi}{3}. Então \sqrt{x}=2, \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}, \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • As derivadas em (4,\pi/3) valem: \frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(4,\pi/3)}=\frac{1}{2\cdot 2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(4,\pi/3)}=-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}.
  • Então, por exemplo, para \Delta x=0{,}01 e \Delta y=0{,}01, a aproximação linear dá \Delta z\approx \frac{1}{8}\cdot 0{,}01 -\sqrt{3}\cdot 0{,}01 \approx 0{,}00125-0{,}01732\approx -0{,}01607.
  • Esse exemplo mostra como usar o diferencial para estimar pequenas variações.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2}x^{-1/2}\cos(y)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cos(y)
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-\sqrt{x}\sin(y)
\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=-\frac{1}{4}x^{-3/2}\cos(y)=-\frac{1}{4x^{3/2}}\cos(y)
\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=-\sqrt{x}\cos(y)
\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=-\frac{1}{2}x^{-1/2}\sin(y)
\displaystyle \nabla z=\Big(\tfrac{1}{2}x^{-1/2}\cos(y),\; -\sqrt{x}\sin(y)\Big)
\displaystyle dz=\frac{1}{2}x^{-1/2}\cos(y)\,dx-\sqrt{x}\sin(y)\,dy

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