1. (M00103079) Cláudio possui uma coleção de canetas. Em seu aniversário, ele ganhou de seus amigos uma quantidade de canetas correspondente ao quadrado da quantidade que ele possuía. Com isso, sua coleção passou a ter 30 canetas.
    Qual é a quantidade de canetas que Cláudio possuía em sua coleção antes de ser presenteado por seus amigos?
    A) 5 .
    B) 6 .
    C) 10 .
    D) 15 .
    E) 30 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Informação 1: Cláudio tinha uma certa quantidade de canetas, que vou chamar de \,x\,.
  • Informação 2: Ele ganhou, de presente, uma quantidade de canetas igual ao quadrado da quantidade que ele possuía. Ou seja, o presente tem tamanho \,x^{2}\,.
  • Informação 3: Depois de receber o presente, a coleção passou a ter \,30\, canetas.
  • Pergunta: Qual era a quantidade de canetas que Cláudio possuía antes do presente? (Ou seja, determinar \,x\,.)

Passo 2

Tradução em equação. A situação diz que a quantidade final ( \,30\,) é a soma da quantidade inicial ( \,x\,) com a quantidade recebida ( \,x^{2}). Logo escrevemos a equação:
x + x^{2} = 30.
Explicando cada termo: \,x\, é o número inicial de canetas; \,x^{2}\, é o número de canetas que ele ganhou (o quadrado de \,x\,); a soma dá \,30\,.

Passo 3

Colocar a equação no formato padrão de uma equação quadrática facilita resolver. Subtraindo \,30\, de ambos os lados obtemos:
x^{2} + x - 30 = 0.
Aqui temos uma equação quadrática do tipo \,ax^{2}+bx+c=0\, com \,a=1\,,\,b=1\,,\,c=-30\,.

Passo 4

Métodos para resolver quadrática (curtinha aula):
  • Fatoração: quando os coeficientes são inteiros pequenos, tenta-se escrever \,x^{2}+x-30\, como produto de dois binômios (x + p)(x + q) onde p e q são inteiros e p\cdot q = c e p+q = b.
  • Fórmula de Bhaskara (quadrática): \displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Aqui \,b^{2}-4ac\, é o discriminante; se for quadrado perfeito a solução fica inteira.
Como os números são pequenos, vamos tentar fatorar. Procuramos inteiros p e q tais que:
p\cdot q = -30 \qquad\text{e}\qquad p+q = 1.
Testando pares divisores de -30 (por exemplo -1,30; -2,15; -3,10; -5,6, etc.), vemos que -5 e 6 funcionam porque
(-5)\cdot 6 = -30 \qquad\text{e}\qquad (-5) + 6 = 1.

Passo 5

Com esses valores a fatoração é:
x^{2}+x-30 = (x-5)(x+6).
Então a equação (x-5)(x+6)=0 tem soluções quando um dos fatores é zero, isto é:
x-5=0 \quad\Rightarrow\quad x=5,
x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x=-6.

Passo 6

Interpretação física/contextual das raízes: \,x\, representa número de canetas que Cláudio possuía originalmente. Não faz sentido ter número negativo de canetas, então descartamos \,x=-6\,. A solução viável é
x=5.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar na hora da prova): se ele tinha \,5\, canetas, ganhou \,5^{2}=25\, canetas, e \,5+25=30\, — bate com o enunciado. Tudo certo!

Resposta

A) 5.

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