(M17.4E33) O macho da rã-touro, Rana catesbeiana, é conhecido pelos ruidosos gritos de acasalamento. O som não é emitido pela boca da rã, mas pelos tímpanos, que estão na superfície da cabeça. Surpreendentemente, o mecanismo nada tem a ver com o papo inflado da rã. Se o som emitido possui uma frequência de 260 Hze um nível sonoro de 85 dB (perto dos tímpanos), qual é a amplitude da oscilação dos tímpanos? A massa específica do ar é 1,21 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Resp.: 0.76 \mu \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado nos dá um som com frequência f = 260\\ \mathrm{Hz} e nível sonoro L = 85\\ \mathrm{dB} próximo aos tímpanos, e pede a amplitude da oscilação desses tímpanos. A massa específica do ar é \rho = 1,21\\ \mathrm{kg/m^3}. Para resolver, vamos usar:
  1. A definição de nível sonoro para obter a pressão acústica.
  2. A impedância característica do ar Z = \rho\,c para relacionar pressão e velocidade de partícula.
  3. A relação entre velocidade de partícula e deslocamento, \xi = u/\omega.

Passo 2

O nível sonoro em decibéis é dado por
L \;=\; 20\,\log_{10}\bigl(p_{\mathrm{rms}}/p_{0}\bigr),
onde p_{0} = 20\,\mu\mathrm{Pa} é a pressão de referência. Invertendo,
p_{\mathrm{rms}} \;=\; p_{0}\,10^{L/20}.

Passo 3

Calculando p_{\mathrm{rms}} e a amplitude de pressão p_{\mathrm{peak}} = \sqrt{2}\,p_{\mathrm{rms}}:
p_{\mathrm{rms}} = 20\times10^{-6}\times10^{85/20}\approx 0{,}356\\ \mathrm{Pa},
p_{\mathrm{peak}} = \sqrt{2}\times0{,}356\approx 0{,}504\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Considerando uma onda plana no ar com velocidade do som c \approx 343\\ \mathrm{m/s}, a impedância acústica é
Z = \rho\,c = 1{,}21\times343 \approx 415\\ \mathrm{Pa\cdot s/m}.
A velocidade de partícula máxima é
u = \frac{p_{\mathrm{peak}}}{Z} \approx \frac{0{,}504}{415} \approx 1{,}21\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

A amplitude de deslocamento \xi relaciona-se com a velocidade via \omega = 2\pi f:
\omega = 2\pi\times260 \approx 1634\\ \mathrm{s^{-1}},
\xi = \frac{u}{\omega} \approx \frac{1{,}21\times10^{-3}}{1634} \approx 7{,}4\times10^{-7}\\ \mathrm{m} \approx 0{,}74\\ \mu\mathrm{m}.

Resposta

A amplitude da oscilação dos tímpanos é aproximadamente 0{,}76\\ \mu\mathrm{m}.

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