(M17.5E39) (a) Determine a velocidade das ondas em uma corda de violino com 800 mg de massa e 22,0 \mathrm{~cm} de comprimento se a frequência fundamental é 920 Hz . (a) Qual é a tração da corda? Para o modo fundamental, qual é o comprimento de onda (c) das ondas na corda e (d) das ondas sonoras emitidas pela corda? Resp.: a) 405 \mathrm{m} / \mathrm{s}, b) 596 N , c) 0.440 m , d) 0.373 m

Passo 1

O enunciado dá uma corda de violino de massa 800\,\mathrm{mg} e comprimento 22,0\,\mathrm{cm} vibrando no modo fundamental com frequência 920\,\mathrm{Hz}. Precisamos aplicar a teoria de ondas em corda fixa para achar:
– (a) a velocidade da onda na corda;
– (b) a tração na corda;
– (c) o comprimento de onda na corda no modo fundamental;
– (d) o comprimento de onda do som emitido no ar.

Passo 2

Para o modo fundamental de uma corda fixa em ambas as extremidades, vale
v = \lambda_1 \, f_1
e \lambda_1 = 2L. Logo
v = 2L\,f_1.
Substituindo L = 0,22\,\mathrm{m} e f_1 = 920\,\mathrm{Hz},
v = 2 \times 0,22 \times 920 = 404,8\,\mathrm{m/s}\approx 405\,\mathrm{m/s}.

Passo 3

A tração T na corda relaciona-se à velocidade pela densidade linear de massa \mu:
\mu = \frac{m}{L},\quad T = \mu\,v^2.
Aqui m = 0,0008\,\mathrm{kg} e L = 0,22\,\mathrm{m}, então
\mu = \frac{0,0008}{0,22} \approx 0,003636\,\mathrm{kg/m},
T = 0,003636 \times (404,8)^2 \approx 595,7\,\mathrm{N} \approx 596\,\mathrm{N}.

Passo 4

No modo fundamental a corda tem
\lambda_{\rm corda} = 2L = 2 \times 0,22 = 0,44\,\mathrm{m}.

Passo 5

O som emitido no ar tem a mesma frequência f_1. Assumindo a velocidade do som v_{\rm ar}\approx 343\,\mathrm{m/s},
\lambda_{\rm ar} = \frac{v_{\rm ar}}{f_1} = \frac{343}{920} \approx 0,373\,\mathrm{m}.

Resposta

(a) v = 405\,\mathrm{m/s}
(b) T = 596\,\mathrm{N}
(c) \lambda_{\rm corda} = 0,440\,\mathrm{m}
(d) \lambda_{\rm ar} = 0,373\,\mathrm{m}

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