(M17.4E24) Uma discussão começa acalorada, com um nível sonoro de 70 dB , mas o nível cai para 50 dB quando os interlocutores se acalmam. Supondo que a frequência do som é de 500 Hz , determine a intensidade (a) inicial e (b) final e a amplitude, (c) inicial e (d) final das ondas sonoras. Resp.: a) 10 \mu \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, b) 0.10 \mu \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}, c) 70 nm , d) 7.0 nm

Passo 1

O enunciado diz que o nível sonoro cai de 70 dB para 50 dB num som de frequência 500 Hz. Queremos (a) e (b) as intensidades iniciais e finais e (c) e (d) as amplitudes iniciais e finais das ondas sonoras. Vamos usar a relação
L = 10\,\log_{10}\!\bigl(\tfrac{I}{I_0}\bigr)
com I_0=10^{-12},W/ m^{2} para as intensidades e
I = \tfrac12\,\rho\,v\,\omega^2\,s_m^2
para ligar intensidade I à amplitude de deslocamento s_m, onde \omega=2\pi f, \rho é a densidade do ar e v é a velocidade do som no ar.

Passo 2

Para cada nível L temos
I = I_0\,10^{L/10}.
Com I_0=10^{-12},W/ m^{2}:
I_{\rm i}=10^{-12}\times10^{70/10}=10^{-5}\,\mathrm{W/m}^2=10\,\mu\mathrm{W/m}^2,
I_{\rm f}=10^{-12}\times10^{50/10}=10^{-7}\,\mathrm{W/m}^2=0,1\,\mu\mathrm{W/m}^2.

Passo 3

Para achar a amplitude de deslocamento usamos
I = \tfrac12\,\rho\,v\,(2\pi f)^2\,s_m^2 \quad\Longrightarrow\quad s_m = \sqrt{\frac{2I}{\rho\,v\,(2\pi f)^2}}.
Adotamos valores típicos \rho=1,2,kg/ m^{3} e v=340,m/s.

Passo 4

Calculando a amplitude inicial com I_{\rm i}=10^{-5},W/ m^{2}:
s_{m,{\rm i}} = \sqrt{\frac{2\times10^{-5}}{1,2\times340\times(2\pi\times500)^2}} \approx7{,}0\times10^{-8}\,\mathrm{m} =70\,\mathrm{nm}.

Passo 5

Calculando a amplitude final com I_{\rm f}=10^{-7},W/ m^{2}:
s_{m,{\rm f}} = \sqrt{\frac{2\times10^{-7}}{1,2\times340\times(2\pi\times500)^2}} \approx7{,}0\times10^{-9}\,\mathrm{m} =7{,}0\,\mathrm{nm}.

Resposta

(a) I_{\rm i}=10\,\mu\mathrm{W/m}^2
(b) I_{\rm f}=0{,}1\,\mu\mathrm{W/m}^2
(c) s_{m,{\rm i}}=70\,\mathrm{nm}
(d) s_{m,{\rm f}}=7{,}0\,\mathrm{nm}

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