Qual o maior subconjunto dos reais que pode ser usado como domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: “Qual o maior subconjunto dos reais que pode ser usado como domínio da função
?”\n
Informações dadas e condições óbvias do problema:
Informações dadas e condições óbvias do problema:
As duas condições que vêm imediatamente do enunciado são:
- O radicando deve ser não negativo, isto é,
. - O denominador não pode ser zero, logo
.
Passo 2
Explico por que essas condições aparecem (pequena aula): a função raiz quadrada real
só aceita argumentos maiores ou iguais a zero — se o radicando fosse negativo não existe valor real da raiz. Além disso, a expressão tem uma divisão por
, então precisamos garantir que não dividimos por zero. Essas duas condições juntas determinam o domínio.
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade
Uma técnica prática: multiplicamos ambos os lados por
. Note que
para todo
, então a desigualdade mantém o sinal. Ao multiplicar temos:
Isto transformou a desigualdade racional numa desigualdade de produto de fatores, que é mais fácil de analisar.
Passo 4
Agora estudamos o sinal do produto
. Os pontos onde cada fator zera são:
Esses dois pontos particionam a reta em três intervalos:
,
e
. Vamos determinar o sinal do produto em cada intervalo escolhendo um ponto teste e olhando o sinal de cada fator.
-
Para
: (negativo) e (negativo). Produto: negativo × negativo = positivo. Logo o produto é nesse intervalo. -
Para
: (positivo) e (negativo). Produto: positivo × negativo = negativo. Logo o produto é < 0 nesse intervalo. -
Para
: (positivo) e (positivo). Produto: positivo × positivo = positivo. Logo o produto é nesse intervalo.
Passo 5
Interpretando os resultados da desigualdade
:
- O produto é não negativo em
e em , se considerarmos apenas a desigualdade. Porém, devemos lembrar da condição adicional: (denominador zero). Portanto não podemos incluir . - O ponto
zera o numerador e o denominador em é , então em o radicando é e é permitido. Assim está no domínio.
Combinando tudo obtemos os intervalos permitidos:
e
.
Passo 6
Checando extremos e consistência:
- Para qualquer
o radicando é e o denominador é diferente de zero, então está bem definida. - Para
o radicando também é e denominador , então também está bem definida. -
é proibido por divisão por zero. - Intervalo
não pertence ao domínio porque lá o radicando é negativo.