Qual o maior subconjunto dos reais que pode ser usado como domínio das seguintes funções:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\frac{1+x}{x-4}}

Passo 1

O enunciado pede: “Qual o maior subconjunto dos reais que pode ser usado como domínio da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\dfrac{1+x}{x-4}}?”\n
Informações dadas e condições óbvias do problema:
\mathrm{f}(x)=\sqrt{\dfrac{1+x}{x-4}}.
As duas condições que vêm imediatamente do enunciado são:
  1. O radicando deve ser não negativo, isto é, \dfrac{1+x}{x-4}\ge 0.
  2. O denominador não pode ser zero, logo x\neq 4.

Passo 2

Explico por que essas condições aparecem (pequena aula): a função raiz quadrada real \sqrt{\,\cdot\,} só aceita argumentos maiores ou iguais a zero — se o radicando fosse negativo não existe valor real da raiz. Além disso, a expressão tem uma divisão por x-4, então precisamos garantir que não dividimos por zero. Essas duas condições juntas determinam o domínio.

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade
\frac{1+x}{x-4}\ge 0.
Uma técnica prática: multiplicamos ambos os lados por (x-4)^2. Note que (x-4)^2>0 para todo x\neq4, então a desigualdade mantém o sinal. Ao multiplicar temos:
(1+x)(x-4)\ge 0.
Isto transformou a desigualdade racional numa desigualdade de produto de fatores, que é mais fácil de analisar.

Passo 4

Agora estudamos o sinal do produto (1+x)(x-4). Os pontos onde cada fator zera são:
1+x=0 \Rightarrow x=-1,
x-4=0 \Rightarrow x=4.
Esses dois pontos particionam a reta em três intervalos: (-\infty,-1), (-1,4) e (4,\infty). Vamos determinar o sinal do produto em cada intervalo escolhendo um ponto teste e olhando o sinal de cada fator.
  • Para x=-2\in(-\infty,-1): 1+x=1-2=-1 (negativo) e x-4=-6 (negativo). Produto: negativo × negativo = positivo. Logo o produto é \ge0 nesse intervalo.
  • Para x=0\in(-1,4): 1+x=1 (positivo) e x-4=-4 (negativo). Produto: positivo × negativo = negativo. Logo o produto é < 0 nesse intervalo.
  • Para x=5\in(4,\infty): 1+x=6 (positivo) e x-4=1 (positivo). Produto: positivo × positivo = positivo. Logo o produto é \ge0 nesse intervalo.

Passo 5

Interpretando os resultados da desigualdade (1+x)(x-4)\ge0:
  • O produto é não negativo em (-\infty,-1] e em [4,\infty), se considerarmos apenas a desigualdade. Porém, devemos lembrar da condição adicional: x\neq4 (denominador zero). Portanto não podemos incluir x=4.
  • O ponto x=-1 zera o numerador e o denominador em x=-1 é -5\neq0, então em x=-1 o radicando é 0 e \sqrt{0}=0 é permitido. Assim x=-1 está no domínio.
Combinando tudo obtemos os intervalos permitidos: (-\infty,-1] e (4,\infty).

Passo 6

Checando extremos e consistência:
  • Para qualquer x\in(-\infty,-1] o radicando é \ge0 e o denominador é diferente de zero, então \mathrm{f}(x) está bem definida.
  • Para x\in(4,\infty) o radicando também é \ge0 e denominador \neq0, então também está bem definida.
  • x=4 é proibido por divisão por zero.
  • Intervalo (-1,4) não pertence ao domínio porque lá o radicando é negativo.

Resposta

(-\infty,-1]\cup(4,\infty)

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