(sorteio x ) Esboce o gráfico da função \mathrm{g}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-1)^{2}-9 e da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\left|(\mathrm{x}-1)^{2}-9\right|, com domínio em R. Resolva a inequação \left|(x-1)^{2}-9\right|<16.
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede duas coisas: esboçar os gráficos de g(x)=(x-1)^{2}-9 e de f(x)=\left|(x-1)^{2}-9\right| para domínio \mathbb{R}, e resolver a inequação \left|(x-1)^{2}-9\right|<16. Informações relevantes que já temos do enunciado: a expressão interna comum é (x-1)^{2}-9; g é essa expressão sem valor absoluto e f é o valor absoluto dela.
Passo 2
Analisando g(x)=(x-1)^{2}-9: esta é uma parábola na forma de uma quadrática completada como (x-h)^{2}+k. Aqui já está na forma (x-1)^{2}-9, portanto o vértice é (1,-9) (o ponto (h,k) com h=1 e k=-9). A parábola abre para cima porque o coeficiente de (x-1)^{2} é positivo (igual a 1). A reta de simetria é x=1.
Passo 3
Encontrando pontos importantes de g:
Zeros (onde g(x)=0): resolvemos (x-1)^{2}-9=0. Então
(x-1)^{2}=9 \implies x-1=\pm 3 \implies x=4 \text{ ou } x=-2.
Portanto a parábola corta o eixo x em x=-2 e x=4.
Intercepto em y (quando x=0):
g(0)=(0-1)^{2}-9=1-9=-8.
Outros valores úteis pelo eixo de simetria: g(1)=-9 (vértice), g(2)=(2-1)^{2}-9=1-9=-8 (simétrico de g(0)), g(5)=(5-1)^{2}-9=16-9=7.
Com essas informações você desenha uma parábola com vértice em (1,-9), passando por (0,-8), cortando o eixo x em (-2,0) e (4,0) e subindo para valores positivos fora de [-2,4].
Passo 4
Agora f(x)=\left|(x-1)^{2}-9\right|. Entendendo o impacto do valor absoluto no gráfico: o valor absoluto preserva as partes não negativas (quando a expressão interna é \ge 0) e reflete (multiplica por -1) as partes negativas (quando a expressão interna é <0), ou seja, a parte do gráfico de g que estiver abaixo do eixo x é espelhada para cima.
Dividimos o domínio em dois conjuntos conforme os zeros de g (que já achamos): para x\le -2 e x\ge 4 temos (x-1)^{2}-9\ge 0, então
f(x)=(x-1)^{2}-9 \quad\text{para } x\le -2 \text{ ou } x\ge 4.
Note que 9-(x-1)^{2} é uma parábola que abre para baixo, com vértice em (1,9). Esse é justamente o “reflexo” do ramo negativo de g.
Passo 5
Comportamento do gráfico de f em palavras simples (isso serve de esboço):
Para x\le -2: f coincide com g, uma parábola que vem de cima e chega a (-2,0).
Para -2<x<4: f é a parábola invertida 9-(x-1)^{2} com vértice em (1,9) e que atinge 0 nas extremidades (-2,0) e (4,0).
Para x\ge 4: f volta a coincidir com g, subindo para cima a partir de (4,0).
Nos pontos x=-2 e x=4 o gráfico de f tem pontos onde a concavidade muda (há um “canto” porque se reflete um ramo que cortava o eixo), mas o gráfico é contínuo (valor 0 nesses pontos). Pontos-chave para o esboço: (-2,0), (4,0), vértice inferior de g em (1,-9) (que vira ponto de f em (1,9) pelo reflexo) e comportamento para x\to\pm\infty (ambos crescem como a parábola original).
Passo 6
Agora resolvemos a inequação \left|(x-1)^{2}-9\right|<16. Regra útil: para qualquer expressão A e número B>0,
|A|<B \iff -B<A<B.
Aplicando com A=(x-1)^{2}-9 e B=16:
-16<(x-1)^{2}-9<16.
Somando 9 em todas as partes da desigualdade:
-16+9<(x-1)^{2}<16+9 \implies -7<(x-1)^{2}<25.
Passo 7
Observação importante: (x-1)^{2} é um quadrado e, portanto, sempre \ge 0. A desigualdade à esquerda -7<(x-1)^{2} é automaticamente satisfeita para todo x porque 0>-7. Então a condição reduz-se a
(x-1)^{2}<25.
Tirando raiz (equivalente a usar módulo):
|x-1|<5.
Isso significa
-5<x-1<5 \implies -4<x<6.
Passo 8
Conferindo as bordas: em x=-4 e em x=6 temos (x-1)^{2}=25, logo (x-1)^{2}-9=16 e |\cdots|=16, mas a inequação é estrita "<16", portanto os extremos não pertencem à solução. A solução é o intervalo aberto (-4,6).
Resposta
Esboço: g(x)=(x-1)^{2}-9 é uma parábola com vértice em (1,-9), zeros em x=-2 e x=4 e intercepto em y igual a -8; f(x)=\left|(x-1)^{2}-9\right| coincide com g para x\le-2 e x\ge4 e, para -2<x<4, é f(x)=9-(x-1)^{2} (vértice em (1,9)), ou seja, é o gráfico de g com o ramo negativo refletido para cima.