Qual o maior subconjunto dos reais que pode ser usado como domínio das seguintes funções:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{|2 x-1|-3}

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{f}(x)=\sqrt{|2x-1|-3} e pede: qual o maior subconjunto de \mathbb{R} que pode ser usado como domínio dessa função?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função envolve uma raiz quadrada principal, então o radicando (o que está dentro da raiz) precisa ser um número real maior ou igual a zero.
  • O radicando é |2x-1|-3.
  • Não há outras restrições explícitas (por exemplo, frações que gerariam divisões por zero), então a única condição a impor vem do radicando da raiz.

Passo 2

Escrevemos a condição de existência (domínio) exigida pela raiz quadrada: o radicando deve ser não negativo. Assim:
|2x-1|-3 \ge 0.

Passo 3

Isolamos o valor absoluto:
|2x-1| \ge 3.
Agora preciso te explicar como resolver uma desigualdade com valor absoluto. Regra prática: para qualquer expressão u e qualquer a \ge 0,
|u| \ge a \iff u \le -a \quad\text{ou}\quad u \ge a.
Intuição rápida: |u| é a distância de u a zero; exigir que essa distância seja pelo menos a significa que u está a pelo menos a unidades de zero, ou seja, está à esquerda de -a ou à direita de a.

Passo 4

Aplicando a regra com u=2x-1 e a=3, obtemos duas desigualdades:
2x-1 \ge 3 \quad\text{ou}\quad 2x-1 \le -3.

Passo 5

Resolvendo a primeira desigualdade:
2x-1 \ge 3 \Rightarrow 2x \ge 4 \Rightarrow x \ge 2.
Expliquei passo a passo: somei 1 em ambos os lados, depois dividi por 2.

Passo 6

Resolvendo a segunda desigualdade:
2x-1 \le -3 \Rightarrow 2x \le -2 \Rightarrow x \le -1.
Mesma lógica: somei 1 e dividi por 2.

Passo 7

Combinando as duas soluções (pois a condição é “ou”), o conjunto de x que satisfaz a existência é
x \le -1 \quad\text{ou}\quad x \ge 2.
Em notação de intervalo, isso é
(-\infty,-1]\cup[2,+\infty).
Para ter certeza prática, verificamos os extremos: em x=-1 temos |2(-1)-1|-3=| -3|-3=3-3=0, logo \sqrt{0}=0 é permitido; em x=2 temos |4-1|-3=3-3=0 também permitido. Se pegarmos um ponto no meio, por exemplo x=0, obtemos |2\cdot0-1|-3=1-3=-2, negativo, não permitido — então os valores entre -1 e 2 ficam de fora.

Resposta

(- \infty, -1] \cup [2, +\infty)

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