De maneira geral, as combinações com repetição C R_{n, k}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} representam o número de soluções da equação x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=k, em inteiros não-negativos. Com base nessa informação, quantas são as soluções inteiras não-negativas da equação x+y+z+t=8 ?

Passo 1

O problema pede o número de soluções inteiras não--negativas de
x + y + z + t = 8
ou seja, quantas quadras (x,y,z,t) com x,y,z,t\ge0 satisfazem a soma igual a 8. O conteúdo usado é “combinações com repetição”, que nos dá diretamente o número de soluções desse tipo de equação.

Passo 2

A teoria diz que o número de soluções não--negativas de
x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=k
é dado por
CR_{n,k} = \frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}.

Passo 3

Aqui temos n=4 variáveis (x,y,z,t) e soma k=8.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
CR_{4,8} = \frac{(4+8-1)!}{8!\,(4-1)!} = \frac{11!}{8!\,3!}.

Passo 5

Agora simplificamos:
\frac{11!}{8!\,3!} =\frac{11\times10\times9\times8!}{8!\times(3\times2\times1)} =\frac{11\times10\times9}{6} =\frac{990}{6} =165.

Resposta

165

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