O consumo médio mensal de energia elétrica num certo bairro é aproximadamente uma variável aleatória Normal com média 180 kWh e desvio padrão 60kWh. Calcule as seguintes probabilidades:
De que um domicílio escolhido aleatoriamente tenha consumo médio mensal acima de 220KWh;
De que um domicílio escolhido aleatoriamente tenha consumo médio mensal acima de 220KWh;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre o consumo médio mensal de energia elétrica num bairro. A quantidade de energia consumida segue uma distribuição Normal, que é aquela famosa curva em forma de sino. A média é de 180 kWh e o desvio padrão é de 60 kWh. Nosso objetivo aqui é descobrir a probabilidade de um domicílio escolhido aleatoriamente ter um consumo médio mensal acima de 220 kWh. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística como média, desvio padrão e a tabela da distribuição Normal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter um consumo acima de 220 kWh. Queremos calcular a probabilidade $ P(X > 220) $, onde $ X $ é a quantidade de energia consumida. Como $ X $ segue uma distribuição Normal com média $ \mu = 180 $ kWh e desvio padrão $ \sigma = 60 $ kWh, podemos padronizar essa variável para facilitar os cálculos.
Passo 3
A padronização é feita através da fórmula:
Onde:
- $ Z $ é a variável padronizada,
- $ X $ é o valor que estamos analisando (220 kWh),
- $ \mu $ é a média (180 kWh),
- $ \sigma $ é o desvio padrão (60 kWh).
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Então, o valor de $ Z $ é aproximadamente 0,6667.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade $ P(Z > 0,6667) $. Para isso, consultamos a tabela da distribuição Normal padrão ou usamos uma calculadora que forneça o valor da função de distribuição acumulada (CDF) para $ Z $.
Passo 6
Usando a tabela ou uma calculadora, encontramos que a probabilidade acumulada até $ Z = 0,6667 $ é aproximadamente 0,7475. Isso significa que 74,75% dos casos estão abaixo de 220 kWh.
Passo 7
Para encontrar a probabilidade de estar acima desse valor, subtraímos esse resultado de 1:
Ou seja, 25,25%.
Resposta
A probabilidade de um domicílio escolhido aleatoriamente ter consumo médio mensal acima de 220 kWh é de aproximadamente 25,25%.