Um menino faz uma pedra descrever uma circunferência horizontal 2,0 m acima do chão e com 1,5 m de raio. A corda se parte e a pedra é arremessada horizontalmente, chegando ao solo depois de percorrer uma distância horizontal de 10 m. Qual era o módulo da aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular? (Resp. 163, 5 m s^{2} )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • A pedra descrevia uma circunferência horizontal a uma altura de \,2,0\\ \mathrm{m}\, acima do chão.
  • O raio da circunferência era \,1,5\\ \mathrm{m}\,.
  • A corda se parte e a pedra é lançada horizontalmente (ou seja, no instante da ruptura a velocidade é puramente horizontal).
  • Depois do lançamento a pedra atinge o solo a uma distância horizontal de \,10\\ \mathrm{m}\, do ponto de queda vertical.
O que o enunciado pede: calcular o módulo da aceleração centrípeta que a pedra tinha enquanto fazia o movimento circular (ou seja, antes da corda romper).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma clara):
  • Movimento imediatamente após a ruptura: a pedra passa a ser um projétil lançado horizontalmente. Isso significa que, no instante do lançamento, a velocidade vertical é zero e a velocidade horizontal é a velocidade tangencial que ela tinha no movimento circular. A aceleração vertical durante a queda é a gravidade g e a aceleração horizontal é nula (desprezando resistência do ar).
  • Equação do movimento vertical (queda livre a partir do repouso vertical): a distância vertical percorrida em tempo t é dada por
y = \tfrac{1}{2} g t^{2},
onde y é a altura caída, g é a aceleração da gravidade e t o tempo de queda. Aqui y= altura inicial até o chão.
  • Equação do movimento horizontal (velocidade horizontal constante): a distância horizontal x percorrida em tempo t é
x = v_{\text{h}}\, t,
onde v_{\text{h}} é a velocidade horizontal no instante da ruptura (igual à velocidade tangencial no movimento circular).
  • Aceleração centrípeta para um movimento circular uniforme: o módulo da aceleração centrípeta é
a_{c} = \frac{v^{2}}{r},
onde v é a velocidade tangencial (módulo da velocidade da pedra na trajetória circular) e r é o raio da circunferência. Aqui queremos a_{c} com r=1,5\\ \mathrm{m} e v=v_{\text{h}}.
Explicação rápida do porquê de a_c=\dfrac{v^2}{r}: para manter uma partícula descrevendo um círculo de raio r com velocidade escalar v, a direção da velocidade muda continuamente; essa mudança de direção exige uma aceleração apontando para o centro. Com análise geométrica ou usando velocidade angular, chega-se à relação a_c = \omega^2 r com \omega = v/r, daí a_c = v^2/r.

Passo 3

Usar o movimento vertical para encontrar o tempo de queda t.
A pedra cai de uma altura \,2,0\\ \mathrm{m}\,. Aplicando
y = \tfrac{1}{2} g t^{2},
substituímos y = 2,0\\ \mathrm{m} e g = 9,8\\ \mathrm{m\,s^{-2}} (valor usual aproximado):
2,0 = \tfrac{1}{2}\cdot 9,8\cdot t^{2}.
Isolando t:
t^{2} = \frac{2\cdot 2,0}{9,8} = \frac{4,0}{9,8}.
t = \sqrt{\frac{4,0}{9,8}}.
Calculemos a divisão e a raiz (passo a passo):
\frac{4,0}{9,8} \approx 0,408163\dots
t \approx \sqrt{0,408163} \approx 0,6383\\ \mathrm{s}.
Portanto o tempo que a pedra leva para atingir o solo é aproximadamente t \approx 0,6383\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Determinar a velocidade horizontal v_{\text{h}} (que é a velocidade tangencial no movimento circular) a partir da distância horizontal percorrida.
A distância horizontal observada é \,10\\ \mathrm{m}\,. Como a velocidade horizontal é constante pós-ruptura,
x = v_{\text{h}}\, t \quad\Rightarrow\quad v_{\text{h}} = \frac{x}{t}.
Substituindo x = 10\\ \mathrm{m} e t \approx 0,6383\\ \mathrm{s}:
v_{\text{h}} \approx \frac{10}{0,6383} \approx 15,67\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Então a velocidade tangencial da pedra, imediatamente antes da corda quebrar, era aproximadamente \,15,67\\ \mathrm{m\,s^{-1}}\,.

Passo 5

Calcular a aceleração centrípeta usando a_{c} = \dfrac{v^{2}}{r}.
Aqui v = v_{\text{h}} \approx 15,67\\ \mathrm{m\,s^{-1}} e r = 1,5\\ \mathrm{m}. Primeiro elevamos v ao quadrado:
v^{2} \approx (15,67)^{2} \approx 245,6\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-2}}.
Agora dividimos por r:
a_{c} = \frac{245,6}{1,5} \approx 163,7\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
Observação sobre pequenas variações: usando g=9,81\\ \mathrm{m\,s^{-2}} ou arredondamentos intermediários obtém-se um valor muito próximo (por exemplo 163,4\\ \mathrm{m\,s^{-2}} com g=9,81). O enunciado dá como referência 163,5\\ \mathrm{m\,s^{-2}}, que é compatível com estas aproximações e arredondamentos.

Resposta

163,5\\ \mathrm{m\,s^{-2}}

Exercícios relacionados