Um menino faz uma pedra descrever uma circunferência horizontal
acima do chão e com
de raio. A corda se parte e a pedra é arremessada horizontalmente, chegando ao solo depois de percorrer uma distância horizontal de
. Qual era o módulo da aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular? (Resp. 163,
)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- A pedra descrevia uma circunferência horizontal a uma altura de
acima do chão. - O raio da circunferência era
. - A corda se parte e a pedra é lançada horizontalmente (ou seja, no instante da ruptura a velocidade é puramente horizontal).
- Depois do lançamento a pedra atinge o solo a uma distância horizontal de
do ponto de queda vertical.
O que o enunciado pede: calcular o módulo da aceleração centrípeta que a pedra tinha enquanto fazia o movimento circular (ou seja, antes da corda romper).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma clara):
-
Movimento imediatamente após a ruptura: a pedra passa a ser um projétil lançado horizontalmente. Isso significa que, no instante do lançamento, a velocidade vertical é zero e a velocidade horizontal é a velocidade tangencial que ela tinha no movimento circular. A aceleração vertical durante a queda é a gravidade
e a aceleração horizontal é nula (desprezando resistência do ar). -
Equação do movimento vertical (queda livre a partir do repouso vertical): a distância vertical percorrida em tempo
é dada por
onde
é a altura caída,
é a aceleração da gravidade e
o tempo de queda. Aqui
altura inicial até o chão.
- Equação do movimento horizontal (velocidade horizontal constante): a distância horizontal
percorrida em tempo é
onde
é a velocidade horizontal no instante da ruptura (igual à velocidade tangencial no movimento circular).
- Aceleração centrípeta para um movimento circular uniforme: o módulo da aceleração centrípeta é
onde
é a velocidade tangencial (módulo da velocidade da pedra na trajetória circular) e
é o raio da circunferência. Aqui queremos
com
e
.
Explicação rápida do porquê de
: para manter uma partícula descrevendo um círculo de raio
com velocidade escalar
, a direção da velocidade muda continuamente; essa mudança de direção exige uma aceleração apontando para o centro. Com análise geométrica ou usando velocidade angular, chega-se à relação
com
, daí
.
Passo 3
Usar o movimento vertical para encontrar o tempo de queda
.
A pedra cai de uma altura
. Aplicando
substituímos
e
(valor usual aproximado):
Isolando
:
Calculemos a divisão e a raiz (passo a passo):
Portanto o tempo que a pedra leva para atingir o solo é aproximadamente
.
Passo 4
Determinar a velocidade horizontal
(que é a velocidade tangencial no movimento circular) a partir da distância horizontal percorrida.
A distância horizontal observada é
. Como a velocidade horizontal é constante pós-ruptura,
Substituindo
e
:
Então a velocidade tangencial da pedra, imediatamente antes da corda quebrar, era aproximadamente
.
Passo 5
Calcular a aceleração centrípeta usando
.
Aqui
e
. Primeiro elevamos
ao quadrado:
Agora dividimos por
:
Observação sobre pequenas variações: usando
ou arredondamentos intermediários obtém-se um valor muito próximo (por exemplo
com
). O enunciado dá como referência
, que é compatível com estas aproximações e arredondamentos.