Manipule as frações abaixo simplificando-as:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa simplificar a soma das seguintes frações:
Nesse exercício, estamos trabalhando com frações algébricas, que são frações onde o numerador e o denominador são expressões algébricas. Para simplificar essas frações, vamos precisar encontrar um denominador comum e manipular as expressões para combiná-las de forma mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os denominadores de cada fração para entender como podemos simplificá-los:
- $ x - 1 $
- $ (x - 1)^2 $
- $ x^2 - 1 $
Perceba que o terceiro denominador $ x^2 - 1 $ pode ser fatorado usando a diferença de quadrados:
Então, agora podemos reescrever a terceira fração como:
Passo 3
Agora, identificamos o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores para encontrar um denominador comum que facilite a soma das frações. Observando os denominadores:
- $ x - 1 $ pode ser escrito como $ (x - 1) $
- $ (x - 1)^2 $
- $ (x - 1)(x + 1) $
O MMC desses denominadores será o produto máximo de cada fator:
Passo 4
Agora, vamos reescrever cada fração com o denominador comum $ (x - 1)^2 (x + 1) $:
- Para $ \frac{1}{x - 1} $, multiplicamos numerador e denominador por $ (x - 1)(x + 1) $:
Simplificando, o denominador já está igual ao MMC.
- Para $ \frac{2}{(x - 1)^2} $, multiplicamos numerador e denominador por $ (x + 1) $:
- A terceira fração já está com o denominador $ (x - 1)(x + 1) $. Para igualar ao MMC, multiplicamos numerador e denominador por $ (x - 1) $:
Passo 5
Agora que todas as frações têm o mesmo denominador, podemos somá-las:
Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro, expandimos cada termo:
- $ (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1 $ (usando a diferença de quadrados)
- $ 2(x + 1) = 2x + 2 $
- $ x(x - 1) = x^2 - x $
Substituindo de volta no numerador:
Combine os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, nosso resultado ficou assim:
Vamos verificar se o numerador $ 2x^2 + x + 1 $ pode ser fatorado para simplificar ainda mais. Procuramos dois números que multiplicados dão $ 2 \times 1 = 2 $ e somados dão $ 1 $. Infelizmente, não existem números inteiros que satisfaçam isso, então o numerador não pode ser fatorado de forma simples.
Resposta
A expressão simplificada é: