Manipule as frações abaixo simplificando-as:
1x-1+2(x-1)^2+xx^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa simplificar a soma das seguintes frações:
1x-1 + 2(x-1)^2 + xx^2-1
Nesse exercício, estamos trabalhando com frações algébricas, que são frações onde o numerador e o denominador são expressões algébricas. Para simplificar essas frações, vamos precisar encontrar um denominador comum e manipular as expressões para combiná-las de forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os denominadores de cada fração para entender como podemos simplificá-los:
  1. $ x - 1 $
  2. $ (x - 1)^2 $
  3. $ x^2 - 1 $
Perceba que o terceiro denominador $ x^2 - 1 $ pode ser fatorado usando a diferença de quadrados:
x - 1
Então, agora podemos reescrever a terceira fração como:
(x - 1)^2

Passo 3

Agora, identificamos o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores para encontrar um denominador comum que facilite a soma das frações. Observando os denominadores:
  1. $ x - 1 $ pode ser escrito como $ (x - 1) $
  2. $ (x - 1)^2 $
  3. $ (x - 1)(x + 1) $
O MMC desses denominadores será o produto máximo de cada fator:
x - 1

Passo 4

Agora, vamos reescrever cada fração com o denominador comum $ (x - 1)^2 (x + 1) $:
  1. Para $ \frac{1}{x - 1} $, multiplicamos numerador e denominador por $ (x - 1)(x + 1) $:
(x - 1)^2 (x + 1)
Simplificando, o denominador já está igual ao MMC.
  1. Para $ \frac{2}{(x - 1)^2} $, multiplicamos numerador e denominador por $ (x + 1) $:
1x - 1
  1. A terceira fração já está com o denominador $ (x - 1)(x + 1) $. Para igualar ao MMC, multiplicamos numerador e denominador por $ (x - 1) $:
(x - 1)(x + 1)

Passo 5

Agora que todas as frações têm o mesmo denominador, podemos somá-las:
(x - 1)(x + 1) + 2(x + 1) + x(x - 1)(x - 1)^2 (x + 1)
Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro, expandimos cada termo:
  1. $ (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1 $ (usando a diferença de quadrados)
  2. $ 2(x + 1) = 2x + 2 $
  3. $ x(x - 1) = x^2 - x $
Substituindo de volta no numerador:
(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1
Combine os termos semelhantes:
2(x + 1) = 2x + 2

Passo 6

Agora, nosso resultado ficou assim:
2x^2 + x + 1(x - 1)^2 (x + 1)
Vamos verificar se o numerador $ 2x^2 + x + 1 $ pode ser fatorado para simplificar ainda mais. Procuramos dois números que multiplicados dão $ 2 \times 1 = 2 $ e somados dão $ 1 $. Infelizmente, não existem números inteiros que satisfaçam isso, então o numerador não pode ser fatorado de forma simples.

Resposta

A expressão simplificada é:
2x^2 + x + 1(x - 1)^2 (x + 1)

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