Diversos estudos propuseram um robô extraveicular que poderia se mover em uma estação espacial da NASA e realizar tarefas físicas em vários locais de trabalho. O braço é controlado por um sistema de realimentação unitária com função de transferência em malha aberta
L(s)=G_{c}(s) G(s)=\frac{K}{s(s / 8+1)(s / 100+1)} .
Esboce o diagrama de Bode para K=30 e determine a frequência em que 20 \log |L(j \omega)|= 0 dB .

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência em malha aberta
L(s)=\frac{K}{s\bigl(s/8+1\bigr)\bigl(s/100+1\bigr)}
com K=30.
O conteúdo é resposta em frequência e diagrama de Bode; precisamos esboçar o diagrama de magnitude (pontos de quebra e inclinações) e achar a frequência \omega onde
20\log|L(j\omega)|=0\\ \text{dB}.

Passo 2

Identificamos três polos:
— Um integrador em s=0, que introduz inclinação de -20,dB/déc. desde o início.
— Um polo em s=-8, ou seja, quebra em \omega=8,rad/s, adicionando mais -20,dB/déc.
— Um polo em s=-100, quebra em \omega=100,rad/s, adicionando mais -20,dB/déc.
Logo as inclinações assintóticas de magnitude são:
— Para \omega<8: -20,dB/déc.
— Para 8<\omega<100: -40,dB/déc.
— Para \omega>100: -60,dB/déc.
No esboço, a reta em \omega=1 começa em
20\log\frac{K}{1}=20\log(30)\approx29{,}5\\ \text{dB},
depois cai segundo as inclinações acima.

Passo 3

A expressão exata em dB é
20\log|L(j\omega)|=20\log K \;-\;20\log\omega\;-\;20\log\bigl|1+j\tfrac{\omega}{8}\bigr|\;-\;20\log\bigl|1+j\tfrac{\omega}{100}\bigr|.
Para \omega entre 8 e 100 podemos aproximar \bigl|1+j\omega/8\bigr|\approx \omega/8 e \bigl|1+j\omega/100\bigr|\approx1,
ficando a reta assintótica
20\log|L|\approx20\log(30)-20\log\omega -20\log\frac{\omega}{8} =20\log(30)-40\log\omega +20\log8.

Passo 4

Na faixa 8<\omega<100 igualamos a zero:
20\log(30)-40\log\omega +20\log8=0 \quad\Longrightarrow\quad 40\log\omega=20\log(30)+20\log8
\log\omega=\tfrac{1}{2}\bigl[\log(30)+\log(8)\bigr] =\tfrac{1}{2}\log(240) \quad\Longrightarrow\quad \omega= \sqrt{240}\approx15{,}5\\ \text{rad/s}.

Passo 5

Se quisermos refinar incluindo ligeiro efeito do polo em 100,rad/s, resolvemos numericamente
\frac{30}{\omega\sqrt{1+(\omega/8)^2}\,\sqrt{1+(\omega/100)^2}}=1
e obtemos \omega\approx14{,}4,rad/s.

Resposta

A frequência de cruzamento de ganho (onde 20\log|L(j\omega)|=0,dB) é aproximadamente
\omega_{\text{cg}}\approx15\\ \text{rad/s}.

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