Máquina de Carnot: A máquina idealizada por Carnot representa o comportamento limite das máquinas reais. Seu funcionamento é baseado no ciclo de Carnot, que consiste em duas transformações isotérmicas e duas adiabáticas alternadas entre si. A partir da definição de eficiência de uma máquina térmica e da análise dos processos termodinâmicos que ocorrem no ciclo de Carnot, mostre que a eficiência desse ciclo é dada por e=1-\left(T_{f} / T_{q}\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a eficiência de uma máquina de Carnot, que opera entre um reservatório quente à temperatura T_{q} e um reservatório frio à temperatura T_{f}, é dada por
e \;=\; 1 \;-\;\frac{T_{f}}{T_{q}}.
O conteúdo chave é termodinâmica de ciclos reversíveis: definição de eficiência e balanço de entropia nas transformações isotérmicas e adiabáticas.

Passo 2

Definimos eficiência como trabalho líquido dividido pelo calor absorvido na isoterma quente. Como o ciclo é fechado, o trabalho líquido é
W \;=\; Q_{q}\;-\;Q_{f},
onde Q_{q} é o calor absorvido a T_{q} e Q_{f} o calor rejeitado a T_{f}. Logo,
e \;=\;\frac{W}{Q_{q}} \;=\; \frac{Q_{q}-Q_{f}}{Q_{q}} \;=\; 1 \;-\;\frac{Q_{f}}{Q_{q}}.

Passo 3

Em um ciclo reversível todo o balanço de entropia é zero. Nas duas etapas adiabáticas não há troca de calor, logo não mudam entropia. Nas etapas isotérmicas, sendo reversíveis, vale
\Delta S \;=\;\frac{Q}{T}.
Assim, na isoterma quente a máquina ganha entropia
\Delta S_{q} \;=\; \frac{Q_{q}}{T_{q}},
e na isoterma fria perde
\Delta S_{f} \;=\; -\;\frac{Q_{f}}{T_{f}}.
Somando todas as quatro etapas do ciclo, \sum\Delta S=0, resulta
\frac{Q_{q}}{T_{q}} \;-\; \frac{Q_{f}}{T_{f}} \;=\;0.

Passo 4

Da igualdade acima segue
\frac{Q_{q}}{T_{q}} =\frac{Q_{f}}{T_{f}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{Q_{f}}{Q_{q}} =\frac{T_{f}}{T_{q}}.

Passo 5

Substituindo \tfrac{Q_{f}}{Q_{q}}=\tfrac{T_{f}}{T_{q}} na expressão de eficiência, obtém-se
e =1-\frac{Q_{f}}{Q_{q}} =1-\frac{T_{f}}{T_{q}}.

Resposta

e = 1 - \frac{T_{f}}{T_{q}}.

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