Uma máquina de Carnot opera entre
e
, usando
de um gás ideal monoatômico. As condições iniciais são 1.0 bar e
. Durante a etapa de expansão isotérmica o volume muda para
. Calcular q e w para cada etapa do processo e do processo inteiro.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede cálculos claros:
- Temperaturas das duas fontes térmicas:
-
. -
.
-
- Gás ideal monoatômico com
mol. - Condição inicial:
e . - Durante a expansão isotérmica de alta temperatura o volume vai de
até . - Ciclo de Carnot padrão com quatro etapas:
- Isotérmica reversível a
(expansão ). - Adiabática reversível (expansão
) até . - Isotérmica reversível a
(compressão ). - Adiabática reversível (compressão
) retornando a .
- Isotérmica reversível a
O que o enunciado pede:
- Calcular
(calor trocado) e (trabalho realizado pelo gás, ou seja, trabalho positivo quando o gás realiza trabalho) para cada etapa do ciclo e para o ciclo inteiro.
Informações úteis a converter/usar (peguei os números do enunciado):
-
. Então volumes em : -
. -
.
-
- Constante dos gases:
. - Para gás monoatômico ideal:
e .
Passo 2
Antes de calcular, vamos fixar convenções e fórmulas (explicação didática, passo a passo):
- Convenção de sinais que vou usar:
-
= trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho, negativo se o trabalho é feito sobre o gás). -
= calor absorvido pelo gás (positivo se o gás recebe calor, negativo se o gás libera calor). - Primeira lei:
. Para ciclo completo , logo .
- Isotérmica reversível de um gás ideal:
- Em processo isotérmico
(energia interna depende só de para gás ideal), logo . - Pressão do gás ao longo do processo:
. - Trabalho realizado pelo gás ao expandir de
a : Aqui é nº de mols, a constante, a temperatura constante do processo, e volumes inicial e final.
- Adiabática reversível (sem troca de calor):
.
- Para gás ideal reversível adiabático vale
constante, e também - Trabalho do gás numa adiabática pode ser obtido via variação de energia interna:
Pela primeira lei com : . Assim podemos calcular conhecendo as temperaturas inicial e final da adiabática. - Para gás monoatômico
e . Observe que e portanto .
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo aos estados do ciclo.
Passo 3
Etapa 1 — Isotérmica a
(expansão
):
- Dados:
, , , . - Fórmula do trabalho isotérmico:
- Calcule a razão dos volumes:
- Calcule
: - Então
- Como é isotérmico,
e portanto . - Resultado (arredondando sensatamente):
e . - Interpretação física curta: o gás absorveu calor do reservatório quente e usou esse calor para realizar trabalho durante a expansão.
Passo 4
Etapa 2 — Adiabática reversível (expansão
) até
:
- Aqui
por definição de adiabática reversível. - Precisamos do volume
no fim da adiabática, quando alcança . - Usamos a relação
constante. Com e conhecidos e : - Para gás monoatômico
e . Logo (convertendo unidades, usamos dm^3/ dm^3 porque fator adimensional). - Calcule a razão de temperaturas:
- Assim
- Agora o trabalho na adiabática obtém-se por
.
- Resumo da etapa 2:
-
. -
.
-
- Interpretação: o gás realiza trabalho enquanto sua energia interna diminui (queda de
), e essa perda de energia interna corresponde ao trabalho realizado; não houve troca de calor.
Passo 5
Etapa 3 — Isotérmica a
(compressão
):
- Processo isotérmico a
. Para determinar o volume final (estado ) usamos o fato de que a etapa 4 (adiabática ) deve levar o sistema de em de volta a em . - Pela relação adiabática entre
(início da adiabática compressiva) e (fim dela): - Já calculámos
. Então - Assim a isoterma fria vai de
para . - Trabalho isotérmico (agora compressão, portanto trabalho realizado pelo gás será negativo):
Calculando:
- Como isotérmico,
. - Resumo etapa 3:
-
(o gás libera calor para o reservatório frio). -
.
-
Passo 6
Etapa 4 — Adiabática reversível (compressão
):
- Adiabática, então
. - A temperatura sobe de
para . A variação de energia interna: - Pela primeira lei com
: então Ou seja, trabalho total nesta etapa é negativo: trabalho é feito sobre o gás (compressão). - Resumo etapa 4:
-
. -
.
-
Passo 7
Resultado para o ciclo inteiro (soma das quatro etapas):
- Soma dos calores:
- Soma dos trabalhos:
Confere com a primeira lei: porque . - Eficiência (checa rápida):
Compare com eficiência de Carnot teórica: A pequena diferença vem de arredondamentos intermediários; valores estão consistentes.