Uma máquina de Carnot trabalha entre as temperaturas de 800 K e 300 K . Alguém propõe, para o aumento da eficiência, que usemos duas máquinas de Carnot. A primeira pegaria calor a 800 K , produziria trabalho e rejeitaria calor a 500 K para a segunda máquina que, por sua vez, produziria trabalho e rejeitaria calor ao reservatório a 300 K . Essa nova configuração é mais ou menos eficiente que a original?

Passo 1

O enunciado trata de um motor de Carnot operando entre T_H=800\:\mathrm{K} e T_C=300\:\mathrm{K}, com eficiência \eta=1-T_C/T_H. Propõe-se em vez de um único motor usar dois em cascata: o primeiro entre 800\:\mathrm{K} e 500\:\mathrm{K}, o segundo entre 500\:\mathrm{K} e 300\:\mathrm{K}. Vamos comparar a eficiência do sistema em cascata com a do motor único.

Passo 2

A eficiência do motor de Carnot único é
\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{300}{800} = 1 - 0,375 = 0,625.

Passo 3

No sistema em cascata, seja Q_H o calor extraído a 800\:\mathrm{K}. O primeiro motor tem eficiência
\eta_1 = 1 - \frac{500}{800} = 0,375,
logo rejeita para 500\:\mathrm{K} o calor
Q_I = Q_H\,(1 - \eta_1) = Q_H \times 0,625.

Passo 4

O segundo motor recebe Q_I a 500\:\mathrm{K} e tem eficiência
\eta_2 = 1 - \frac{300}{500} = 0,4.
Ele rejeita para 300\:\mathrm{K} o calor
Q_C = Q_I\,(1 - \eta_2) = Q_I \times 0,6 = (Q_H \times 0,625)\times 0,6 = Q_H \times 0,375.

Passo 5

O trabalho total produzido é
W_\text{total} = Q_H - Q_C = Q_H - 0,375\,Q_H = 0,625\,Q_H,
portanto a eficiência global do sistema em cascata é
\eta_\text{total} = \frac{W_\text{total}}{Q_H} = 0,625.

Resposta

A configuração em cascata tem a mesma eficiência ( 0{,}625) que o motor de Carnot único.

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