A pressão a 1,0 \mathrm{~km} de altitude é de 0,887 \mathrm{~atm}. (a) Se o ar seco foi aquecido na superfície até a temperatura de 30 C , qual será a sua temperatura ao atingir essa altitude? (b) Se um balão de hélio na superfície tem a mesma temperatura de 30 C , qual será a temperatura do hélio a 1,0 \mathrm{~km} de altitude?

Passo 1

O enunciado diz que a pressão a 1{,}0\\ \mathrm{km} de altitude vale P_2=0{,}887\\ \mathrm{atm} (com P_1=1{,}0\\ \mathrm{atm} ao nível do mar).
(a) Queremos a temperatura de uma massa de ar seco, inicialmente a 30\\ ^\circ\mathrm{C}, quando sobe a 1{,}0\\ \mathrm{km}.
(b) Mesma situação, mas para um balão de hélio.
O processo de subida do gás é essencialmente adiabático e reversível (nenhum calor trocado com o ambiente), logo vale a relação de Poisson para gases ideais:
\frac{T_2}{T_1} \;=\;\Bigl(\frac{P_2}{P_1}\Bigr)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}}

Passo 2

Converter a temperatura inicial para kelvin:
T_1 = 30\\ ^\circ\mathrm{C} = 30 + 273 = 303\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Para o ar seco adota-se \gamma_{\mathrm{ar}} = 1{,}4. O expoente fica
\frac{\gamma_{\mathrm{ar}} - 1}{\gamma_{\mathrm{ar}}} =\frac{1{,}4 - 1}{1{,}4}=0{,}4/1{,}4\approx0{,}2857.
Então
\frac{T_{2,\mathrm{ar}}}{303} =\bigl(0{,}887\bigr)^{0{,}2857}.

Passo 4

Calcular numericamente:
\bigl(0{,}887\bigr)^{0{,}2857} \approx \exp\bigl(0{,}2857\ln(0{,}887)\bigr) \approx0{,}9663,
portanto
T_{2,\mathrm{ar}} = 303\times0{,}9663\approx292{,}9\\ \mathrm{K} \approx19{,}8\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Para o hélio usa-se \gamma_{\mathrm{He}} = 1{,}667. O expoente é
\frac{\gamma_{\mathrm{He}} - 1}{\gamma_{\mathrm{He}}} =\frac{0{,}667}{1{,}667}\approx0{,}4,
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\frac{T_{2,\mathrm{He}}}{303} =\bigl(0{,}887\bigr)^{0{,}4} \approx \exp\bigl(0{,}4\ln(0{,}887)\bigr) \approx0{,}9531,
e
T_{2,\mathrm{He}} =303\times0{,}9531\approx288{,}8\\ \mathrm{K} \approx15{,}7\\ ^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) T_{2,\mathrm{ar}}\approx19{,}8\\ ^\circ\mathrm{C}.
(b) T_{2,\mathrm{He}}\approx15{,}7\\ ^\circ\mathrm{C}.

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