Uma máquina que corta papel bobinado é acionada por um trem de engrenagem composto sem reversão, com rotação de entrada de 1800 [rpm], no sentido anti-horário. O eixo de entrada é acionado por um motor com potência de 13 [HP]. Sendo este trem fornecido com ECDR, determine:
a) As relações de transmissão parciais e totais
b) O momento que cada eixo;
c) Os esforços nos dentes ( Fr e Ft ) de todas as engrenagens;
d) As distâncias entre centros dos eixos.
  • Desconsiderar as perdas nos mancais e nos engrenamentos.

Dados:

  • Z1=18 dentes;
  • Z2=63 dentes;
  • Z3=25 dentes;
  • Z4=125 dentes;
  • Módulo: m=5 mm;
  • Ângulo de pressão: phi=25^circ

Passo 1

Beleza, vamos lá: a questão é sobre um trem de engrenagens composto (duas fases, sem reversão no final), acionado a 1800 rpm CCW com 13 HP no eixo 1. Precisamos achar:
  • a) as relações de transmissão (parciais e total)
  • b) o torque em cada eixo
  • c) as forças tangencial ( Ft) e radial ( Fr) em todos os dentes
  • d) as distâncias entre centros dos eixos
    Conteúdo: engrenagens cilíndricas de dentes retos (ECDR), transmissão de potência e cálculo de torque, forças de engrenagem e geometria básica (módulo e passo).

Passo 2

Calcular as velocidades e relações de transmissão.
Teoria: a razão de velocidade (ou transmissão) de um par de engrenagens é dado por
i12=N1N2=Z2Z1
onde Zi é número de dentes. Como temos duas fases: 1–2 e 3–4, e 2 e 3 estão no mesmo eixo (composto).
  1. Par 1–2:
i12=Z2Z1=6318=3,5
2) Par 3–4:
i34=Z4Z3=12525=5
  1. Transmissão total:
itot=i12times i34=3,5times5=17,5
Isso significa que a velocidade do eixo 4 é
N4=N1itot=180017,5approx102,9 rpm

Passo 3

Calcular o torque em cada eixo.
Teoria: potência P=Tcdotomega, onde omega em rad/s. Primeiro converto:
P=13 HPapprox13times746=9698 W
omega1=2pi N160=2pitimes180060=188,5 rad/s
Logo torque no eixo 1:
T1=Pomega1=9698188,5approx51,5 N·m
Como não há perdas:
  • Torque no eixo 2 (mesmo eixo de 2 e 3) é T2=T1times i12=51,5times3,5approx180,2 N·m
    - Eixo 3 tem o mesmo torque de 2, ou seja T3=180,2 N·m.
    - Eixo 4:
    T4=T3times i34=180,2times5approx901,0 N·m

Passo 4

Calcular esforços nos dentes ( Ft e Fr).
Teoria:
  • diâmetro primitivo d=mZ
  • força tangencial Ft=dfrac2Td
  • força radial Fr=Fttanphi
Dados: módulo m=5,mm, phi=25^circ. Passo a passo:
  1. Diâmetros (mm):
    d1=5cdot18=90,
    d2=5cdot63=315,
    d3=5cdot25=125,
    d4=5cdot125=625.
  2. Converter para metros e aplicar Ft:
    Para par 1–2 ( T1=51,5,N·m, d1=0,09,m):
    Ft12=2T1d1=2cdot51,50,09approx1143,3 N
    Fr12=Ft12tan25^circapprox1143,3times0,4663approx533,5 N
    Para par 3–4 ( T3=180,2,N·m, d3=0,125,m):
    Ft34=2cdot180,20,125approx2883,2 N
    Fr34=2883,2timestan25^circapprox1344,7 N
Essas forças valem para ambos os dentes de cada par (engrenagem e pinhão).

Passo 5

Calcular distâncias entre centros.
Teoria: distância entre centros é a soma dos raios dos dentes primitivos:
a12=d1+d22, a34=d3+d42
Valores em mm:
a12=90+3152=202,5 mm
a34=125+6252=375 mm

Resposta

a) i12=3,5, i34=5, itot=17,5
b) T1=51,5,N·m, T2=T3=180,2,N·m, T4=901,0,N·m
c) Para o par 1–2: Ft=1143,3,N, Fr=533,5,N. Para o par 3–4: Ft=2883,2,N, Fr=1344,7,N.
d) a12=202,5,mm, a34=375,mm

Exercícios relacionados