Alguns estudos sobre o Mal de Alzheimer mostraram um aumento na produção de
CO2 em pacientes com esta doença. Em um destes estudos os seguintes valores de
CO2 foram obtidas de 16 biopsias corticais:
1009 1280 1180 1255 1547 2352 1956 1080
1776 1767 1680 2050 1452 2857 3100 1621
Assuma que a população destes valores seja normalmente distribuída com um desvio padrão de 350 e construa um intervalo de confiança de (95 %) para a média populacional.
(Dados:
x_{i}^{2}=54.351 .114 )

Passo 1

O enunciado fornece os valores de CO_2 de 16 biópsias corticais (peguei estes números do enunciado):
1009,\\\ 1280,\\\ 1180,\\\ 1255,\\\ 1547,\\\ 2352,\\\ 1956,\\\ 1080,\\\ 1776,\\\ 1767,\\\ 1680,\\\ 2050,\\\ 1452,\\\ 2857,\\\ 3100,\\\ 1621.
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • Tamanho da amostra: n=16.
  • Desvio-padrão populacional assumido: \sigma=350 (fornecido).
  • Também foi informado \sum x_i^2 = 54.351.114 (está no enunciado).
  • Pedido: construir um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional \mu.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x}. Vou mostrar a fórmula e depois substituir os números.
A fórmula da média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} é a média amostral, n é o número de observações e x_i são os valores observados.
Somando os 16 valores (soma calculada a partir dos números listados):
\sum_{i=1}^{16} x_i = 27962.
Portanto
\bar{x}=\frac{27962}{16}=1747{,}625.

Passo 3

Escolher a fórmula do intervalo de confiança. Como a população é normalmente distribuída e o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, o intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \mu é dado por
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (calculada no passo anterior);
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2;
  • \sigma é o desvio-padrão populacional conhecido;
  • n é o tamanho da amostra;
  • \frac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (medida da variabilidade da média amostral).
No caso de 95\% de confiança, \alpha=0{,}05 então usamos z_{0{,}025}.

Passo 4

Determinar z_{0{,}025}. O valor crítico da normal padrão para nível de 95\% é bem conhecido:
z_{0{,}025}=1{,}96.
(Em prova, pode-se obter este valor em tabela da normal padrão ou lembrar que para 95\% é aproximadamente 1{,}96.)

Passo 5

Calcular o erro padrão e a margem de erro. Primeiro o erro padrão da média:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{350}{\sqrt{16}}=\frac{350}{4}=87{,}5.
Agora a margem de erro (ME):
\text{ME}=z_{0{,}025}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot87{,}5=171{,}5.

Passo 6

Construir o intervalo somando/subtraindo a margem de erro à média:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{ME}=1747{,}625-171{,}5=1576{,}125,
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{ME}=1747{,}625+171{,}5=1919{,}125.
Portanto o intervalo de confiança de 95\% para a média populacional é
(1576{,}125;\\\ 1919{,}125).

Passo 7

Interpretação rápida (útil na prova): isso significa que, com 95\% de confiança, a média verdadeira de produção de CO_2 na população estudada está entre \,1576{,}125 e \,1919{,}125. Em prova, lembrar de checar se \sigma é conhecido (usa-se z) ou desconhecido (usa-se t).

Resposta

\text{IC}_{95\%}=(1576{,}125;\\\ 1919{,}125)

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