1-) Suponha que uma população tenha apenas os seguintes valores: 3, 20 ; 5,05 ; 7,42 ; 8,74 ; 10,02 em metros. Calcular: a-) a média, b-) a variância da população. Se amostras aleatórias simples de tamanho \mathrm{n}=2 são retiradas da população e para cada amostra, o primeiro item sorteado é reposto na população antes de sortear o segundo, calcular: c-) a média, d-) a variância, de todas as possíveis médias amostrais. Se o primeiro item sorteado não é reposto na população antes de sortear o segundo, calcular e-) a média, f-) o desvio padrão, de todas as possíveis médias amostrais.

Passo 1

O enunciado nos dá uma população com N=5 elementos, cujos valores em metros são (usei vírgula decimal conforme o enunciado):
x_1=3{,}20,\quad x_2=5{,}05,\quad x_3=7{,}42,\quad x_4=8{,}74,\quad x_5=10{,}02.
As perguntas são:
a-) calcular a média da população;
b-) calcular a variância da população;
c-) supondo amostras aleatórias simples de tamanho n=2 com reposição, calcular a média de todas as possíveis médias amostrais;
d-) para o caso com reposição, calcular a variância de todas as possíveis médias amostrais;
e-) supondo agora amostras de tamanho n=2 sem reposição, calcular a média de todas as possíveis médias amostrais;
f-) no caso sem reposição, calcular o desvio padrão de todas as possíveis médias amostrais.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a média da população. Conceito rápido: a média populacional \mu é a soma dos valores dividido por N. Em fórmula,
\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i.
Aplicando aos números dados:
\sum_{i=1}^{5} x_i = 3{,}20 + 5{,}05 + 7{,}42 + 8{,}74 + 10{,}02 = 34{,}43.
Então
\mu=\frac{34{,}43}{5}=6{,}886\\ \text{m}.
Explicando: esse número é o “centro” da população; quando formos calcular médias amostrais, a expectativa delas costuma ser esse mesmo valor (vai aparecer adiante).

Passo 3

Agora a variância populacional. Conceito: a variância populacional \sigma^2 mede a dispersão em torno de \mu e é dada por
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2.
Vamos calcular cada termo (x_i-\mu)^2. Usando \mu=6{,}886:
\begin{aligned} (x_1-\mu)^2 &= (3{,}20-6{,}886)^2 = (-3{,}686)^2 = 13{,}586596,\\[4pt] (x_2-\mu)^2 &= (5{,}05-6{,}886)^2 = (-1{,}836)^2 = 3{,}370896,\\[4pt] (x_3-\mu)^2 &= (7{,}42-6{,}886)^2 = (0{,}534)^2 = 0{,}285156,\\[4pt] (x_4-\mu)^2 &= (8{,}74-6{,}886)^2 = (1{,}854)^2 = 3{,}437316,\\[4pt] (x_5-\mu)^2 &= (10{,}02-6{,}886)^2 = (3{,}134)^2 = 9{,}821956. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i=1}^{5}(x_i-\mu)^2 = 30{,}50192.
Portanto a variância populacional é
\sigma^2=\frac{30{,}50192}{5}=6{,}100384\\ \text{m}^2.
Comentário didático: note que dividimos por N (não por N-1) porque a pergunta pediu variância da população, não estimador amostral.]

Passo 4

Agora vamos ao caso de amostragem com reposição, n=2. Primeiro a média das médias amostrais.
Teoria que vamos usar (explicada de forma simples):
  • Se cada observação amostral é uma variável aleatória X retirada da população (com reposição, as retiradas são independentes e idênticas), a média amostral para n observações é
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i.
  • A esperança (valor esperado) da média amostral satisfaça
\mathbb{E}(\bar{X})=\mu,
ou seja, a média das médias amostrais é a média populacional. Isso decorre de linearidade da esperança e do fato de \mathbb{E}(X_i)=\mu.
Aplicando ao nosso caso:
\mathbb{E}(\bar{X})=\mu=6{,}886\\ \text{m}.

Passo 5

Agora a variância da média amostral com reposição.
Teoria:
  • Para observações independentes com variância \sigma^2, a variância da média amostral é
\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}.
Explicando: somando variâncias e dividindo pelo quadrado de n (detalhe técnico, mas o resultado é esse) reduz a variabilidade em razão de n.
No nosso caso, \sigma^2=6{,}100384 e n=2, logo
\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{6{,}100384}{2}=3{,}050192\\ \text{m}^2.
Comentário: se fosse pedido o desvio padrão nessa situação, seria \sqrt{3{,}050192}\approx1{,}746\\ \text{m}, mas a letra (d) pediu só a variância.

Passo 6

Agora o caso sem reposição, n=2. Primeiro a média das médias amostrais.
Teoria:
  • Mesmo sem reposição, a média amostral continua sendo um estimador não viciado da média populacional; ou seja,
\mathbb{E}(\bar{X})=\mu.
Raciocínio intuitivo: retirar sem reposição não altera o fato de que, em média sobre todas as amostras possíveis, o centro permanece \mu.
Portanto, para o nosso caso sem reposição:
\mathbb{E}(\bar{X})=\mu=6{,}886\\ \text{m}.

Passo 7

Agora calculamos o desvio padrão das médias amostrais sem reposição — primeiro precisamos da variância com correção para população finita.
Teoria (fórmula importante a decorar para prova):
  • Quando amostramos sem reposição de uma população finita de tamanho N, a variância da média amostral é
\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}\cdot\frac{N-n}{N-1}.
O fator \dfrac{N-n}{N-1} é chamado de correção para população finita (finite population correction, FPC) e reduz a variância porque retirar sem reposição reduz a incerteza: as observações ficam negativamente correlacionadas.
Aplicando com N=5, n=2, e \sigma^2=6{,}100384:
\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{6{,}100384}{2}\cdot\frac{5-2}{5-1}=3{,}050192\cdot\frac{3}{4}=2{,}287644\\ \text{m}^2.
Agora o desvio padrão (pedido em f) ) é a raiz quadrada dessa variância:
\operatorname{SD}(\bar{X})=\sqrt{2{,}287644}\approx1{,}51254\\ \text{m}.
Arredondando razoavelmente (3 casas decimais): 1{,}513\\ \text{m}.

Resposta

a-) \mu=6{,}886\\ \text{m}
b-) \sigma^2=6{,}100384\\ \text{m}^2
c-) \mathbb{E}(\bar{X})=6{,}886\\ \text{m}
d-) \operatorname{Var}(\bar{X})=3{,}050192\\ \text{m}^2
e-) \mathbb{E}(\bar{X})=6{,}886\\ \text{m}
f-) \operatorname{SD}(\bar{X})\approx1{,}51254\\ \text{m}

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