1-) Suponha que uma população tenha apenas os seguintes valores: 3,
em metros. Calcular: a-) a média, b-) a variância da população. Se amostras aleatórias simples de tamanho
são retiradas da população e para cada amostra, o primeiro item sorteado é reposto na população antes de sortear o segundo, calcular: c-) a média, d-) a variância, de todas as possíveis médias amostrais. Se o primeiro item sorteado não é reposto na população antes de sortear o segundo, calcular e-) a média, f-) o desvio padrão, de todas as possíveis médias amostrais.
Passo 1
O enunciado nos dá uma população com
elementos, cujos valores em metros são (usei vírgula decimal conforme o enunciado):
As perguntas são:
a-) calcular a média da população;
b-) calcular a variância da população;
c-) supondo amostras aleatórias simples de tamanho com reposição, calcular a média de todas as possíveis médias amostrais;
d-) para o caso com reposição, calcular a variância de todas as possíveis médias amostrais;
e-) supondo agora amostras de tamanho sem reposição, calcular a média de todas as possíveis médias amostrais;
f-) no caso sem reposição, calcular o desvio padrão de todas as possíveis médias amostrais.
a-) calcular a média da população;
b-) calcular a variância da população;
c-) supondo amostras aleatórias simples de tamanho
d-) para o caso com reposição, calcular a variância de todas as possíveis médias amostrais;
e-) supondo agora amostras de tamanho
f-) no caso sem reposição, calcular o desvio padrão de todas as possíveis médias amostrais.
Passo 2
Primeiro vamos calcular a média da população. Conceito rápido: a média populacional
é a soma dos valores dividido por
. Em fórmula,
Aplicando aos números dados:
Então
Explicando: esse número é o “centro” da população; quando formos calcular médias amostrais, a expectativa delas costuma ser esse mesmo valor (vai aparecer adiante).
Passo 3
Agora a variância populacional. Conceito: a variância populacional
mede a dispersão em torno de
e é dada por
Vamos calcular cada termo
. Usando
:
Somando:
Portanto a variância populacional é
Comentário didático: note que dividimos por
(não por
) porque a pergunta pediu variância da população, não estimador amostral.]
Passo 4
Agora vamos ao caso de amostragem com reposição,
. Primeiro a média das médias amostrais.
Teoria que vamos usar (explicada de forma simples):
- Se cada observação amostral é uma variável aleatória
retirada da população (com reposição, as retiradas são independentes e idênticas), a média amostral para observações é
- A esperança (valor esperado) da média amostral satisfaça
ou seja, a média das médias amostrais é a média populacional. Isso decorre de linearidade da esperança e do fato de
.
Aplicando ao nosso caso:
Passo 5
Agora a variância da média amostral com reposição.
Teoria:
- Para observações independentes com variância
, a variância da média amostral é
Explicando: somando variâncias e dividindo pelo quadrado de
(detalhe técnico, mas o resultado é esse) reduz a variabilidade em razão de
.
No nosso caso,
e
, logo
Comentário: se fosse pedido o desvio padrão nessa situação, seria
, mas a letra (d) pediu só a variância.
Passo 6
Agora o caso sem reposição,
. Primeiro a média das médias amostrais.
Teoria:
- Mesmo sem reposição, a média amostral continua sendo um estimador não viciado da média populacional; ou seja,
Raciocínio intuitivo: retirar sem reposição não altera o fato de que, em média sobre todas as amostras possíveis, o centro permanece
.
Portanto, para o nosso caso sem reposição:
Passo 7
Agora calculamos o desvio padrão das médias amostrais sem reposição — primeiro precisamos da variância com correção para população finita.
Teoria (fórmula importante a decorar para prova):
- Quando amostramos sem reposição de uma população finita de tamanho
, a variância da média amostral é
O fator
é chamado de correção para população finita (finite population correction, FPC) e reduz a variância porque retirar sem reposição reduz a incerteza: as observações ficam negativamente correlacionadas.
Aplicando com
,
, e
:
Agora o desvio padrão (pedido em f) ) é a raiz quadrada dessa variância:
Arredondando razoavelmente (3 casas decimais):
.
Resposta
a-)
b-)
c-)
d-)
e-)
f-)
b-)
c-)
d-)
e-)
f-)