Uma máquina de ensacar determinado produto apresenta variações de peso (distribuído normalmente) com desvio padrão de 3 kg .
Se a máquina for regulada com um peso médio de 64 kg , qual é a probabilidade de se obter sacos com mais de 66 kg ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica:
  • A variação do peso dos sacos é indicada como “distribuído normalmente” (ou seja, segue uma distribuição normal).
  • O desvio padrão é \sigma=3 kg.
  • O peso médio (a regulagem) é \mu=64 kg.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de um saco pesar mais de 66 kg? Ou seja, queremos P(X>66), onde X é o peso do saco.

Passo 2

Entender o que significa “probabilidade com distribuição normal” e como transformar o problema para uma tabela padrão.
  • Quando uma variável aleatória X tem distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos isso como X\sim N(\mu,\sigma^2).
  • Para calcular probabilidades, usamos o escore-z (ou padronização), que transforma X numa variável normal padrão Z com média 0 e desvio padrão 1.
  • A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é o valor da variável original (aqui peso),
  • \mu é a média,
  • \sigma é o desvio padrão,
  • Z é o valor padronizado (o “número de desvios-padrão” que X está acima ou abaixo da média).
Explicação intuitiva: se Z=1, significa que o valor está a um desvio-padrão acima da média; se Z=0, está exatamente na média; se Z=-2, está dois desvios-padrão abaixo.

Passo 3

Aplicar a padronização ao valor X=66.
  • Calculamos o escore-z correspondente a X=66 usando \mu=64 e \sigma=3:
z=\frac{66-64}{3}=\frac{2}{3}\approx 0,6667.
  • Isso significa que 66 kg está aproximadamente 0,6667 desvios-padrão acima da média.

Passo 4

Relacionar a probabilidade pedida com a função de distribuição acumulada padrão.
  • Queremos P(X>66). Em termos de Z, isso é
P(X>66)=P\!\Big(Z>\frac{66-64}{3}\Big)=P(Z>0,6667).
  • A função de distribuição acumulada da normal padrão é \Phi(z)=P(Z\le z). Então
P(Z>0,6667)=1-\Phi(0,6667).
  • Portanto, precisamos encontrar \Phi(0,6667), que é a probabilidade acumulada até z=0,6667.

Passo 5

Como encontrar \Phi(0,6667) sem calculadora exata — uso de tabela da normal padrão e interpolação.
  • Tabelas da normal padrão usualmente dão valores para duas casas decimais de z. Usando uma tabela padrão encontramos:
    • \Phi(0,66)=0,7454
    • \Phi(0,67)=0,7486
  • Nosso z=0,6667 está entre 0,66 e 0,67. Vamos interpolar linearmente para aproximar \Phi(0,6667).
  • A diferença entre as duas entradas é 0,7486-0,7454=0,0032.
  • A fração da distância de 0,66 até 0,6667 em relação a 0,01 é aproximadamente \dfrac{0,0067}{0,01}\approx 0,67.
  • Interpolando:
\Phi(0,6667)\approx 0,7454 + 0,67\cdot 0,0032 \approx 0,7454 + 0,002144 \approx 0,747544.
  • Arredondando razoavelmente, \Phi(0,6667)\approx 0,7475.

Passo 6

Calcular a probabilidade pedida e interpretar o resultado.
  • Usando o resultado anterior,
P(X>66)=1-\Phi(0,6667)\approx 1-0,7475=0,2525.
  • Em percentual, isso é aproximadamente 25,25\%.
  • Intuitivamente: um pouco mais de um quarto dos sacos vai ter peso acima de 66 kg quando a média está em 64 kg e o desvio padrão é 3 kg — faz sentido porque 66 está menos que um desvio-padrão acima da média (um desvio-padrão seria 64+3=67 kg).

Resposta

P(X>66)=0,2525

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