Uma máquina de ensacar determinado produto apresenta variações de peso (distribuído normalmente) com desvio padrão de 3 kg .
Se a máquina for regulada com um peso médio de 64 kg , qual é a probabilidade de se obter sacos com mais de 66 kg ?
Se a máquina for regulada com um peso médio de 64 kg , qual é a probabilidade de se obter sacos com mais de 66 kg ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica:
- A variação do peso dos sacos é indicada como “distribuído normalmente” (ou seja, segue uma distribuição normal).
- O desvio padrão é
kg. - O peso médio (a regulagem) é
kg. - Pergunta: qual é a probabilidade de um saco pesar mais de
kg? Ou seja, queremos , onde é o peso do saco.
Passo 2
Entender o que significa “probabilidade com distribuição normal” e como transformar o problema para uma tabela padrão.
- Quando uma variável aleatória
tem distribuição normal com média e desvio padrão , escrevemos isso como . - Para calcular probabilidades, usamos o escore-z (ou padronização), que transforma
numa variável normal padrão com média e desvio padrão . - A fórmula de padronização é
onde:
-
é o valor da variável original (aqui peso), -
é a média, -
é o desvio padrão, -
é o valor padronizado (o “número de desvios-padrão” que está acima ou abaixo da média).
Explicação intuitiva: se
, significa que o valor está a um desvio-padrão acima da média; se
, está exatamente na média; se
, está dois desvios-padrão abaixo.
Passo 3
Aplicar a padronização ao valor
.
- Calculamos o escore-z correspondente a
usando e :
- Isso significa que
kg está aproximadamente desvios-padrão acima da média.
Passo 4
Relacionar a probabilidade pedida com a função de distribuição acumulada padrão.
- Queremos
. Em termos de , isso é
- A função de distribuição acumulada da normal padrão é
. Então
- Portanto, precisamos encontrar
, que é a probabilidade acumulada até .
Passo 5
Como encontrar
sem calculadora exata — uso de tabela da normal padrão e interpolação.
- Tabelas da normal padrão usualmente dão valores para duas casas decimais de
. Usando uma tabela padrão encontramos: -
- Nosso
está entre e . Vamos interpolar linearmente para aproximar . - A diferença entre as duas entradas é
. - A fração da distância de
até em relação a é aproximadamente . - Interpolando:
- Arredondando razoavelmente,
.
Passo 6
Calcular a probabilidade pedida e interpretar o resultado.
- Usando o resultado anterior,
- Em percentual, isso é aproximadamente
. - Intuitivamente: um pouco mais de um quarto dos sacos vai ter peso acima de
kg quando a média está em kg e o desvio padrão é kg — faz sentido porque está menos que um desvio-padrão acima da média (um desvio-padrão seria kg).