Questão 29. A resistência de determinadas peças individuais feitas por um certo processo de manufatura é conhecida ser normalmente distribuída com media \mu=24 e desvio padrao \sigma=3. Toda peça produzida é testada, sendo aceita pelo controle de qualidade se as suas especificações quanto à resistencia estiver entre \mu-2 \sigma e \mu+2 \sigma (caso contrário é rejeitada).
a) Calcule a probabilidade de uma peca ser rejeitada.
b) Um consumidor exige que pelo menos 95 \% das peças tenha resistência superior a 20 ; tal especificação é atendida? Justificar a resposta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações: a resistência X de peças é normalmente distribuída com média \mu=24 e desvio padrão \sigma=3. O controle de qualidade aceita uma peça se a resistência estiver entre \mu-2\sigma e \mu+2\sigma. O consumidor exige que pelo menos 95\% das peças tenham resistência superior a 20. Perguntas: (a) qual a probabilidade de uma peça ser rejeitada pelo controle de qualidade? (b) a especificação do consumidor (pelo menos 95\% com resistência >20) é atendida? Justificar.

Passo 2

Conceitos essenciais (aula rápida e prática). Quando dizemos que X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^2). Para trabalhar com probabilidades usamos a padronização (transformar em normal padrão). Definimos a variável padrão
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
que tem distribuição Z\sim N(0,1). A função \Phi(z) representa \Phi(z)=P(Z\le z), isto é, a probabilidade acumulada da normal padrão até z. Algumas propriedades úteis e intuitivas:
  • Simetria: \Phi(-z)=1-\Phi(z).
  • Probabilidade de cauda superior: P(Z>z)=1-\Phi(z).
    Essas fórmulas nos permitem trocar probabilidades sobre X por probabilidades sobre Z que consultamos em tabela da normal padrão ou conhecemos valores clássicos (por exemplo \Phi(2)\approx 0,97725).

Passo 3

Resolvendo (a). Primeiro identificar o intervalo de aceitação dado pelo controle:
\mu-2\sigma=24-2\cdot3=24-6=18,
\mu+2\sigma=24+6=30.
Logo uma peça é rejeitada quando X<18 ou X>30. Pela simetria da normal em torno de \mu temos
P(\text{rejeitada})=P(X<18)+P(X>30)=2\cdot P(X>30).
Padronizando P(X>30):
P(X>30)=P\!\left(Z>\frac{30-24}{3}\right)=P(Z>2)=1-\Phi(2).
Usando o valor conhecido \Phi(2)\approx 0,97725 temos
P(X>30)=1-0,97725=0,02275.
Portanto
P(\text{rejeitada})=2\cdot 0,02275=0,0455.
Convertendo em porcentagem: 0,0455\approx 4{,}55\%. (Complemento: a probabilidade de aceitação é 1-0,0455=0,9545\approx 95{,}45\%.)

Passo 4

Resolvendo (b). Queremos P(X>20) e verificar se é pelo menos 0{,}95. Padronizamos:
P(X>20)=P\!\left(Z>\frac{20-24}{3}\right)=P\!\left(Z>-\tfrac{4}{3}\right).
Usamos a propriedade P(Z>-a)=P(Z<a)=\Phi(a). Aqui a=\tfrac{4}{3}\approx 1{,}333. Então
P(X>20)=\Phi\!\left(\tfrac{4}{3}\right).
Consultando a tabela da normal padrão: \Phi(1{,}33)\approx 0{,}9082 e \Phi(1{,}34)\approx 0{,}9099. Para 1{,}333 podemos usar \Phi(1{,}333)\approx 0{,}9085 (interpolação simples) — para fins da prova é suficiente conhecer \Phi(1{,}33)\approx 0{,}9082. Assim
P(X>20)\approx 0{,}9082\approx 90{,}82\%.
Comparando com a exigência do consumidor 95\%: 90{,}82\%<95\%. Portanto a especificação do consumidor não é atendida.

Passo 5

Resumo didático rápido para a hora da prova (receita de bolso):
  • Identifique intervalo de interesse em termos de \mu e \sigma.
  • Padronize com Z=(X-\mu)/\sigma.
  • Use simetria e propriedades de \Phi para transformar em \Phi(\cdot) ou 1-\Phi(\cdot).
  • Consulte tabela da normal padrão para os valores numéricos (valores comuns: \Phi(2)\approx0{,}97725; \Phi(1{,}33)\approx0{,}9082). Mantém a calma: lembrar de multiplicar por 2 quando for fora de \mu\pm 2\sigma.

Resposta

(a) 0{,}0455 (aprox. 4{,}55\%).
(b) P(X>20)\approx 0{,}9082 (aprox. 90{,}82\%). Não, a especificação de 95\% não é atendida.

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