Questão 29. A resistência de determinadas peças individuais feitas por um certo processo de manufatura é conhecida ser normalmente distribuída com media
e desvio padrao
. Toda peça produzida é testada, sendo aceita pelo controle de qualidade se as suas especificações quanto à resistencia estiver entre
e
(caso contrário é rejeitada).
a) Calcule a probabilidade de uma peca ser rejeitada.
b) Um consumidor exige que pelo menos
das peças tenha resistência superior a 20 ; tal especificação é atendida? Justificar a resposta.
a) Calcule a probabilidade de uma peca ser rejeitada.
b) Um consumidor exige que pelo menos
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações: a resistência
de peças é normalmente distribuída com média
e desvio padrão
. O controle de qualidade aceita uma peça se a resistência estiver entre
e
. O consumidor exige que pelo menos
das peças tenham resistência superior a
. Perguntas: (a) qual a probabilidade de uma peça ser rejeitada pelo controle de qualidade? (b) a especificação do consumidor (pelo menos
com resistência
) é atendida? Justificar.
Passo 2
Conceitos essenciais (aula rápida e prática). Quando dizemos que
é normal com média
e desvio padrão
escrevemos
. Para trabalhar com probabilidades usamos a padronização (transformar em normal padrão). Definimos a variável padrão
que tem distribuição
. A função
representa
, isto é, a probabilidade acumulada da normal padrão até
. Algumas propriedades úteis e intuitivas:
- Simetria:
. - Probabilidade de cauda superior:
.
Essas fórmulas nos permitem trocar probabilidades sobrepor probabilidades sobre que consultamos em tabela da normal padrão ou conhecemos valores clássicos (por exemplo ).
Passo 3
Resolvendo (a). Primeiro identificar o intervalo de aceitação dado pelo controle:
Logo uma peça é rejeitada quando
ou
. Pela simetria da normal em torno de
temos
Padronizando
:
Usando o valor conhecido
temos
Portanto
Convertendo em porcentagem:
. (Complemento: a probabilidade de aceitação é
.)
Passo 4
Resolvendo (b). Queremos
e verificar se é pelo menos
. Padronizamos:
Usamos a propriedade
. Aqui
. Então
Consultando a tabela da normal padrão:
e
. Para
podemos usar
(interpolação simples) — para fins da prova é suficiente conhecer
. Assim
Comparando com a exigência do consumidor
:
. Portanto a especificação do consumidor não é atendida.
Passo 5
Resumo didático rápido para a hora da prova (receita de bolso):
- Identifique intervalo de interesse em termos de
e . - Padronize com
. - Use simetria e propriedades de
para transformar em ou . - Consulte tabela da normal padrão para os valores numéricos (valores comuns:
; ). Mantém a calma: lembrar de multiplicar por 2 quando for fora de .
Resposta
(a)
(aprox.
).
(b) (aprox.
). Não, a especificação de
não é atendida.
(b)