Na fabricação de café solúvel, o extrato que sai do extrator contém 24 \% de sólidos. Como na evaporação perde-se muito mais aroma que na secagem, uma alternativa interessante adotada industrialmente é dividir o extrato em duas correntes: uma passa pelo evaporador e outra vai direto ao secador. Após a concentração, todo o extrato é misturado e segue para o secador, do qual sai com 4 \% de água. No evaporador utiliza-se vapor a 120^{0} \mathrm{C}.
Sabendo-se que saem 2 ton/h de extrato e que 1/5 do extrato vai direto ao secador, determine:
a) a concentração de café na saída do evaporador de forma que a alimentação do secador tenha de 43 \% de sólidos;
b) a quantidade de água retirada no evaporador e a quantidade de água retirada no spray dryer;
c) a área de troca térmica do evaporador;
d) a quantidade de café solúvel produzida.
Dados: Cp da mistura =3,6 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} .{ }^{0} \mathrm{C};
calor latente de vaporização da água a 100^{0} \mathrm{C}: 2250 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg};
calor latente de condensação do vapor a 120^{\circ} \mathrm{C} : 2202 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg};
coeficiente global de transferência de calor do evaporador: 1100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2.0} \mathrm{C}.

Passo 1

O problema fornece as seguintes informações (vou listar tudo devagarinho para a gente não se perder):
  • Taxa de alimentação de extrato: \;2\\ \text{ton/h} = 2000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Concentração do extrato na alimentação: \;24\% de sólidos (portanto 76\% de água).
  • Fração que vai diretamente ao secador: \;1/5 da alimentação total.
  • O restante vai ao evaporador; após concentração no evaporador todo o líquido é misturado novamente e segue para o secador.
  • A alimentação do secador (após mistura) deve ter \;43\% de sólidos.
  • Do secador sai o produto com \;4\% de água (ou seja, 96\% de sólidos no produto).
  • No evaporador usa-se vapor a \;120^\circ\mathrm{C}.
  • Dados termodinâmicos:
    • C_p da mistura =3{,}6\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot{}^\circ C)}.
    • Calor latente de vaporização da água (a 100^\circ\mathrm{C}): \;2250\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Calor latente de condensação do vapor a 120^\circ\mathrm{C}: \;2202\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Coeficiente global de transferência de calor do evaporador: \;U=1100\\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}.
O que o enunciado pede:
a) A concentração (percentual de sólidos) na saída do evaporador que faça a mistura final ter 43\% de sólidos.
b) A quantidade de água retirada no evaporador e a quantidade de água retirada no spray dryer (em \mathrm{kg/h}).
c) A área de troca térmica do evaporador (em \mathrm{m^2}).
d) A quantidade de café solúvel produzida (em \mathrm{kg/h}).
Observação (importante para os cálculos de energia): não foi dada temperatura inicial do extrato; para poder calcular o aquecimento sensível do extrato até a ebulição vou assumir temperatura inicial típica ambiente \;25^\circ\mathrm{C} e temperatura de ebulição aproximada \;100^\circ\mathrm{C}. Se a prova usar outro valor para temperatura inicial, basta substituir esse número nos cálculos sensíveis — o procedimento é o mesmo.

Passo 2

Vamos fazer o balanço de massas das partes (já que sólidos não se perdem nem se criam):
  • Massa total de sólidos na alimentação:
\text{Sólidos}_{\text{tot}} = 2000\\ \mathrm{kg/h}\times 0{,}24 = 480\\ \mathrm{kg/h}.ó
  • Água total na alimentação:
\text{Água}_{\text{tot}} = 2000 - 480 = 1520\\ \mathrm{kg/h}.Á
  • Corrente que vai direto ao secador (fração 1/5):
F_{\text{direto}} = \frac{1}{5}\times 2000 = 400\\ \mathrm{kg/h}.
Sólidos nessa corrente:
S_{\text{direto}} = 400\times 0{,}24 = 96\\ \mathrm{kg/h}.
Água nessa corrente:
W_{\text{direto}} = 400-96 = 304\\ \mathrm{kg/h}.
  • Corrente que vai ao evaporador (restante 4/5):
F_{\text{evap,feed}} = 2000-400 = 1600\\ \mathrm{kg/h}.
Sólidos nesta corrente:
S_{\text{evap}} = 1600\times 0{,}24 = 384\\ \mathrm{kg/h}.
Água nesta corrente:
W_{\text{evap,feed}} = 1600-384 = 1216\\ \mathrm{kg/h}.
Nota: as massas de sólidos estão corretas: 96+384=480\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 3

Agora vamos encontrar a concentração da saída do evaporador necessária para que, após misturar com a corrente direta, a alimentação do secador tenha 43\% de sólidos.
Chamemos:
  • M_e = massa do efluente do evaporador (kg/h).
  • s_e = fração mássica de sólidos no efluente do evaporador (número entre 0 e 1).
Sabemos que os sólidos no efluente do evaporador permanecem iguais aos que entraram no evaporador:
S_{\text{evap}} = 384\\ \mathrm{kg/h} = M_e \cdot s_e.
A mistura que vai ao secador tem massa
M_{\text{mix}} = M_e + F_{\text{direto}} = M_e + 400,
e contém todos os sólidos:
S_{\text{tot}} = 480\\ \mathrm{kg/h}.
Queremos que a fração de sólidos na mistura seja 0{,}43, ou seja:
0{,}43 = \frac{480}{M_e + 400}.
Resolvendo para M_e:
M_e + 400 = \frac{480}{0{,}43}\quad\Rightarrow\quad M_e = \frac{480}{0{,}43}-400.
Calculemos:
\frac{480}{0{,}43}=1116{,}27907\\ \mathrm{kg/h},
M_e = 1116{,}27907-400 = 716{,}27907\\ \mathrm{kg/h}.
Agora a concentração na saída do evaporador:
s_e = \frac{S_{\text{evap}}}{M_e} = \frac{384}{716{,}27907}=0{,}536299\ldots
Convertendo para percentual:
s_e \approx 53{,}63\%.
Interpretação: o efluente do evaporador deve ter cerca de 53{,}63\% de sólidos para que, ao misturar com a fração direta, a alimentação do secador fique com 43\% de sólidos.

Passo 4

Agora calculamos as quantidades de água removidas.
Água no efluente do evaporador:
W_{\text{evap,out}} = M_e - S_{\text{evap}} = 716{,}27907 - 384 = 332{,}27907\\ \mathrm{kg/h}.
Água retirada no evaporador (vapor gerado no evaporador):
W_{\text{evap,retirada}} = W_{\text{evap,feed}} - W_{\text{evap,out}} = 1216 - 332{,}27907 = 883{,}72093\\ \mathrm{kg/h}.
Massa da mistura que vai ao secador:
M_{\text{mix}} = M_e + 400 = 1116{,}27907\\ \mathrm{kg/h}.
Produto final do secador sai com 4\% de água, então a massa do produto é:
P = \frac{\text{Sólidos}_{\text{tot}}}{1-0{,}04} = \frac{480}{0{,}96} = 500\\ \mathrm{kg/h}.ó
Água que sai no produto:
W_{\text{produto}} = 0{,}04\times 500 = 20\\ \mathrm{kg/h}.
Água alimentada ao secador:
W_{\text{mix}} = M_{\text{mix}} - S_{\text{tot}} = 1116{,}27907 - 480 = 636{,}27907\\ \mathrm{kg/h}.
Água retirada no secador:
W_{\text{dryer,retirada}} = W_{\text{mix}} - W_{\text{produto}} = 636{,}27907 - 20 = 616{,}27907\\ \mathrm{kg/h}.
(Verificação rápida: total de água removida nos dois passos = 883{,}72093 + 616{,}27907 = 1500\\ \mathrm{kg/h}, que é a água original menos água final no produto 1520 - 20 = 1500. Balanço fechado.)

Passo 5

Agora fazemos o balanço energético do evaporador e calculamos a área de troca térmica. Vou explicar cada termo com calma.
O calor total requerido no evaporador ( Q_{\text{total}}) tem duas parcelas principais:
  1. Aquecer a alimentação do evaporador de sua temperatura inicial ( T_i) até a temperatura de ebulição aproximada ( T_b) — chamado calor sensível.
  2. Fornecer o calor latente para vaporizar a massa de água evaporada.
Fórmulas usadas:
  • Calor sensível:
Q_{\text{sensible}} = \dot{m}_{\text{feed,evap}} \cdot C_p \cdot (T_b - T_i),
onde \dot{m}_{\text{feed,evap}} = 1600\\ \mathrm{kg/h} é a massa que entra no evaporador, C_p=3{,}6\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot{}^\circ C)}, T_i=25^\circ\mathrm{C} (assumido) e T_b\approx 100^\circ\mathrm{C}.
  • Calor de vaporização:
Q_{\text{latent}} = \dot{m}_{\text{evap}} \cdot \lambda,
onde \dot{m}_{\text{evap}} = W_{\text{evap,retirada}} = 883{,}72093\\ \mathrm{kg/h} é a massa de água evaporada e \lambda=2250\\ \mathrm{kJ/kg}.
Calculemos separadamente (tudo em \mathrm{kJ/h}, depois convertemos para \mathrm{W}):
Sensible:
Q_{\text{sensible}} = 1600 \times 3{,}6 \times (100-25) =1600 \times 3{,}6 \times 75 = 432{,}000\\ \mathrm{kJ/h}.
Latent:
Q_{\text{latent}} = 883{,}72093 \times 2250 = 1{,}988{,}372{,}0925\\ \mathrm{kJ/h}.
(Simplesmente a massa de água evaporada vezes o calor de vaporização.)
Total:
Q_{\text{total}} = Q_{\text{sensible}} + Q_{\text{latent}} = 432{,}000 + 1{,}988{,}372{,}0925 = 2{,}420{,}372{,}0925\\ \mathrm{kJ/h}.
Converter para potência (W):
\dot{Q} = \frac{Q_{\text{total}}}{3600} = \frac{2{,}420{,}372{,}0925}{3600} = 672{,}325{,}03\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Cálculo da massa de vapor de aquecimento necessária (por hora) e verificação energética com calor de condensação dado.
A energia liberada por condensar m_s kg/h de vapor a 120^\circ\mathrm{C} é:
Q_{\text{fornecido}} = m_s \times 2202\\ \mathrm{kJ/kg}.
Como precisamos de Q_{\text{total}} em \mathrm{kJ/h}, temos:
m_s = \frac{Q_{\text{total}}}{2202} = \frac{2{,}420{,}372{,}0925}{2202} \approx 1{,}099{,}17\\ \mathrm{kg/h}.
(Esse é o vapor de aquecimento consumido por hora.)

Passo 7

Cálculo da área de troca térmica do evaporador.
A expressão básica para trocador de calor com coeficiente global U é:
\dot{Q} = U \cdot A \cdot \Delta T_{\text{lm}},
onde A é a área que queremos e \Delta T_{\text{lm}} é a diferença logarítmica média de temperatura. No caso simples em que o vapor condensa praticamente à temperatura constante T_s=120^\circ\mathrm{C} e o fluido de processo ferve aproximadamente a T_b=100^\circ\mathrm{C}, a diferença de temperatura na superfície é praticamente constante e igual a
\Delta T = T_s - T_b = 120 - 100 = 20^\circ\mathrm{C}.
Assim, para este arranjo simples podemos usar \Delta T_{\text{lm}}\approx 20^\circ\mathrm{C}.
Rearranjando para A:
A = \frac{\dot{Q}}{U\cdot \Delta T_{\text{lm}}} = \frac{672{,}325{,}03\\ \mathrm{W}}{1100\\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}\times 20^\circ\mathrm{C}}.
Calcule:
A = \frac{672{,}325{,}03}{22{,}000} = 30{,}5602285\\ \mathrm{m^2}.
Arredondando, \;A \approx 30{,}56\\ \mathrm{m^2}.
Comentário rápido: usei o valor constante de \Delta T porque o vapor condensa a temperatura quase constante; se o equipamento for de fluxo contrário ou houver variação de temperaturas internas, o correto é calcular \Delta T_{\text{lm}} via a fórmula logarítmica, mas para muitos problemas didáticos com vapor isso simplifica para a diferença entre temperatura de vapor e temperatura de ebulição da solução.

Passo 8

Quantidade de café solúvel produzida.
  • Sólidos produzidos por hora (base seca): \;480\\ \mathrm{kg/h}.
  • Produto final do secador (com 4\% de água) tem massa:
P = 500\\ \mathrm{kg/h}.
Portanto, a produção de café solúvel (produto em pó com 4\% de água) é \;500\\ \mathrm{kg/h}. Se a prova pedir a massa de sólidos secos, é \;480\\ \mathrm{kg/h}.

Resposta

(a) \;53{,}63\% de sólidos na saída do evaporador.
(b) Água retirada no evaporador: \;883{,}72\\ \mathrm{kg/h}.
Água retirada no spray dryer: \;616{,}28\\ \mathrm{kg/h}.
(c) Área de troca térmica do evaporador: \;30{,}56\\ \mathrm{m^2}.
(d) Produção de café solúvel (produto do secador): \;500\\ \mathrm{kg/h} (contendo \;480\\ \mathrm{kg/h} de sólidos secos).

Exercícios relacionados