Uma máquina está programada para encher garrafas de refrigerante com uma média de 900 ml . O gerente da fábrica assegura que a quantidade de refrigerante colocada nas garrafas é uma variável que está distribuída normalmente em torno da média de 900 ml e com desvio padrão igual a 8 ml . Com base nessas informações do gerente deseja-se saber:
qual é o percentual de garrafas que contêm menos de 888 ml ?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Informação: a quantidade por garrafa é uma variável aleatória com distribuição normal com média \mu=900 ml e desvio padrão \sigma=8 ml.
  • Pedido: qual o percentual de garrafas que contêm menos de 888 ml?

Passo 2

Vamos converter o problema para a distribuição normal padrão, que é a forma que as tabelas e calculadoras usam com facilidade.
Explicação didática: se X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^2). Para comparar com a tabela padrão é conveniente transformar X numa variável Z com média 0 e desvio padrão 1. A transformação é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • X é a quantidade de refrigerante (em ml);
  • \mu é a média ( 900 ml);
  • \sigma é o desvio padrão ( 8 ml);
  • Z é a nova variável com Z\sim N(0,1) (chamada normal padrão).
Essa transformação serve porque probabilidades se preservam: para qualquer número a,
P(X<a)=P\!\left(Z<\frac{a-\mu}{\sigma}\right).

Passo 3

Aplicando a padronização ao valor a=888 ml:
Z=\frac{888-900}{8}=\frac{-12}{8}=-1,5.
Portanto
P(X<888)=P\big(Z<-1,5\big).

Passo 4

Agora precisamos achar P(Z<-1,5) para Z\sim N(0,1).
Explicação didática sobre a simetria da normal padrão: a curva é simétrica em torno de zero, então a área à esquerda de -1,5 é igual à área à direita de +1,5. Logo
P(Z<-1,5)=P(Z>1,5)=1-P(Z\le 1,5).
As tabelas de probabilidade (ou calculadora) dão o valor de P(Z\le 1,5). Usando tabela ou calculadora, encontra-se
P(Z\le 1,5)\approx 0,9332.
Portanto
P(Z<-1,5)=1-0,9332=0,0668.

Passo 5

Interpretando em percentual: multiplicamos por 100\%:
0,0668\times100\%=6,68\%.
Um jeitinho prático para a prova: padronize com Z=(X-\mu)/\sigma, calcule o z‑score, consulte a tabela para z positivo e use a simetria se o z for negativo. No caso obtivemos z=-1,5 e a resposta é aproximadamente 6,68\%. Força aí — esse procedimento é sempre o mesmo para perguntas do tipo “menos que” com normal!

Resposta

6,68\%

Exercícios relacionados