Uma pesquisa foi realizada numa certa cidade e foi constatado que o peso das mochilas dos 10000 estudantes na faixa de 8 a 12 anos é uma variável normal com média de 8 kg e desvio padrão igual a 1,5 \mathrm{~kg}. Pergunta-se:
Quantos estudantes existem com mochilas pesando entre \mu-2 \sigma e \mu+2 \sigma(\mathbf{0 , 9 5 4 4})

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • População total de estudantes: 10000.
  • Distribuição do peso das mochilas: normal com média \mu=8\\ \mathrm{kg} e desvio padrão \sigma=1,5\\ \mathrm{kg}.
  • Intervalo solicitado: entre \mu-2\sigma e \mu+2\sigma.
  • O enunciado já fornece a probabilidade correspondente a esse intervalo: 0,9544.
O que é pedido: quantos estudantes, entre os 10000, têm mochilas com peso dentro desse intervalo.

Passo 2

Entendendo o porquê de usar 0,9544.
Para uma variável aleatória X normalmente distribuída com média \mu e desvio padrão \sigma, define-se a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Os limites do intervalo \mu\pm2\sigma correspondem a
\frac{\mu-2\sigma-\mu}{\sigma}=-2 \qquad\text{e}\qquad \frac{\mu+2\sigma-\mu}{\sigma}=2,
ou seja, ao intervalo Z\in[-2,2] na normal padrão. A probabilidade \Pr(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma) é exatamente \Pr(-2<Z<2).

Passo 3

Como obter \Pr(-2<Z<2).
A probabilidade entre Z=-2 e Z=2 é dada por
\Pr(-2<Z<2)=\Phi(2)-\Phi(-2),
onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão. Pela simetria da normal padrão tem-se \Phi(-2)=1-\Phi(2), então
\Pr(-2<Z<2)=2\Phi(2)-1.
Consultando tabela da normal padrão ou usando o valor fornecido no enunciado obtemos
\Pr(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)=0,9544.

Passo 4

Converter a probabilidade em número de estudantes.
Se a fração 0,9544 dos estudantes está nesse intervalo, o número esperado de estudantes é
\text{número esperado} = 0,9544 \times 10000.ú

Passo 5

Observações finais e interpretação.
  • O resultado da multiplicação dá o número esperado de estudantes dentro do intervalo; como estamos lidando com contagem de pessoas, interpreta-se o resultado como uma aproximação inteira (arredondamento natural não é necessário aqui se o produto der inteiro).
  • Em provas, basta multiplicar a probabilidade pelo total da população quando a amostra é a população inteira ou quando se trata de um valor esperado em população grande. Vai dar certo aqui — você já fez a parte conceitual certa!

Resposta

9544 estudantes

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