Uma máquina térmica ideal usa água no seu ponto triplo ( \mathrm{T}=0,01^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{P}=0.006 \mathrm{~atm} ) como fonte quente e um líquido orgânico como sumidouro frio. Ela retira 10000 kJ de calor da fonte quente e produz 3000 kJ de trabalho. Calcule (a) eficiência da máquina térmica e (b) temperatura do sumidouro frio. R: \mathbf{0 , 3 0 ; ~} \mathbf{0 0 7}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Temperatura da fonte quente (ponto triplo da água): t_h=0,01^\circ\mathrm{C} e pressão P=0,006\\ \mathrm{atm}.
  • Calor retirado da fonte quente: Q_h=10000\\ \mathrm{kJ}.
  • Trabalho produzido pela máquina: W=3000\\ \mathrm{kJ}.
O enunciado pede:
(a) a eficiência da máquina térmica;
(b) a temperatura do sumidouro frio.

Passo 2

Entendendo o que é eficiência térmica e a fórmula direta usada aqui.
A eficiência \eta de uma máquina térmica é a razão entre o trabalho útil produzido e o calor recebido da fonte quente. Em palavras: a fração de Q_h que é convertida em trabalho.
A fórmula é
\eta=\frac{W}{Q_h},
onde
  • \eta é a eficiência (adimensional ou em percentagem),
  • W é o trabalho produzido (mesmas unidades de Q_h),
  • Q_h é o calor recebido da fonte quente.
Agora aplicando os números dados:
\eta=\frac{3000}{10000}=0,3.
Em porcentagem, \eta=30\%. (Aqui já temos a resposta da parte (a).)

Passo 3

Explicando a relação entre eficiência e temperaturas para uma máquina térmica ideal (reversível/Carnot).
Uma “máquina térmica ideal” normalmente significa uma máquina de Carnot reversível. Para uma máquina de Carnot operando entre uma fonte quente à temperatura absoluta T_h e um sumidouro frio à temperatura absoluta T_c, a eficiência é dada por
\eta=1-\frac{T_c}{T_h},
onde T_h e T_c são temperaturas absolutas em kelvin ( \mathrm{K}). É crucial usar a escala absoluta porque a fórmula deriva da segunda lei da termodinâmica em termos de entropia, que exige temperatura absoluta. Não se pode usar graus Celsius diretamente nessa fórmula.
Também recordar a conversão entre Celsius e Kelvin:
T(\mathrm{K})=t(^\circ\mathrm{C})+273,15.
Observação: o ponto triplo da água t_h=0,01^\circ\mathrm{C} corresponde precisamente a T_h=273,16\\ \mathrm{K} (isto decorre de 0,01+273,15).

Passo 4

Isolando T_c na fórmula de Carnot.
Da relação
\eta=1-\frac{T_c}{T_h}
subtraindo 1 e multiplicando por -1 obtemos
\frac{T_c}{T_h}=1-\eta
e portanto
T_c=T_h\,(1-\eta).
Aqui:
  • T_c é a temperatura absoluta do sumidouro frio em kelvin,
  • T_h é a temperatura absoluta da fonte quente em kelvin,
  • \eta é a eficiência adimensional.

Passo 5

Calcular T_c usando os valores numéricos corretos em kelvin.
Primeiro convertemos a temperatura da fonte para kelvin (pegando o ponto triplo corretamente):
T_h=0,01^\circ\mathrm{C}+273,15=273,16\\ \mathrm{K}.
Agora aplicamos a fórmula \;T_c=T_h(1-\eta)\; com \eta=0,3:
T_c=273,16\times(1-0,3)=273,16\times0,7=191,212\\ \mathrm{K}.
Converter T_c para graus Celsius:
t_c=T_c-273,15=191,212-273,15=-81,938^\circ\mathrm{C}.
Arredondando com 2 casas decimais: t_c\approx-81,94^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Comentário pedagógico sobre um erro comum (importante para a prova).
Algumas pessoas, por descuido, aplicam a fórmula de Carnot usando temperaturas em graus Celsius. Se alguém fizesse isso com t_h=0,01^\circ\mathrm{C} e \eta=0,3 teria calculado erroneamente
t_c^{\text{(errado)}}=t_h(1-\eta)=0,01^\circ\mathrm{C}\times0,7=0,007^\circ\mathrm{C}.
Esse resultado coincide com a resposta que você mostrou, mas é um procedimento matematicamente e fisicamente incorreto, porque a relação de Carnot exige temperaturas absolutas (kelvin). Portanto esse valor de 0,007^\circ\mathrm{C} é fruto de uma conversão ausente e não é a temperatura real do sumidouro frio para uma máquina de Carnot.

Resposta

(a) \eta=0,30
(b) t_c\approx-81,94^\circ\mathrm{C}

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