Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações fornecidas e observações imediatas extraídas do enunciado:
Informações fornecidas e observações imediatas extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - A função
satisfaz para todo . - Para
já temos , e para todo o denominador é positivo. Portanto todos os termos são positivos. - A pergunta é uma classificação em uma das três categorias: absoluta, condicional ou divergente.
Passo 2
Vou lembrar dois fatos teóricos que vou usar (explicados de forma simples):
- Teste da série p (p-series): a série
converge se, e somente se, . Se a série diverge.
Intuição curta: quandoos termos não decrescem rápido o suficiente para somar um valor finito; quando a decaída é rápida o bastante. - Teste da comparação (caso prático usado aqui): para termos não negativos, se
para todo e diverge, então também diverge. Também: se e converge então converge. É um jeito de transferir convergência/divergência entre séries sabendo que uma domina a outra.
Passo 3
Usar a informação sobre
para obter desigualdades simples para o numerador:
Portanto, para todo
,
Passo 4
Vou transformar a desigualdade de forma a comparar com uma p-série. Observe que, para
,
portanto tomando recíprocos (e lembrando que recíproco inverte a desigualdade quando os termos são positivos) obtemos
Passo 5
Multiplicando a desigualdade do passo anterior por
(positivo) dá
Combinando isso com a desigualdade do passo 3 temos, para todo
,
Em palavras: o termo geral
é maior ou igual a
.
Passo 6
Agora aplico o teste da comparação usando a p-série de expoente
:
- A série
é uma p-série com , portanto diverge. - Como para todo
vale e os termos são não negativos, pela comparação direta concluímos que também diverge (a soma cresce sem limite).
Passo 7
Agora classificar em absoluta/condicional/divergente:
- Como todos os termos
são não negativos temos . Logo a série converge absolutamente se, e somente se, converge (porque valor absoluto não altera nada). - Mas já vimos que a série diverge. Portanto não é absolutamente convergente.
- Condicionalmente convergente significaria que a série converge, mas não absolutamente. Como a série diverge, ela também não é condicionalmente convergente.
Passo 8
Resumo final e motivação rápida: a presença de
só faz o numerador oscilar entre
e
, isto é, não muda a ordem de grandeza em
. O denominador cresce como
, então o termo geral tem ordem
com
. Como
, a p-série correspondente diverge, e por comparação a série dada também diverge. Força aí — essa é uma técnica padrão: verificar ordem de grandeza e comparar com p-séries!
Resposta
Divergente.