Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3-\cos (n)}{2 n^{2 / 3}-1}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3-\cos(n)}{2\,n^{2/3}-1}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações fornecidas e observações imediatas extraídas do enunciado:
  • O termo geral é \displaystyle a_n=\frac{3-\cos(n)}{2\,n^{2/3}-1}.
  • A função \cos(n) satisfaz \displaystyle -1\le \cos(n)\le 1 para todo n.
  • Para n=1 já temos 2\cdot1^{2/3}-1=1>0, e para todo n\ge1 o denominador \displaystyle 2\,n^{2/3}-1 é positivo. Portanto todos os termos a_n são positivos.
  • A pergunta é uma classificação em uma das três categorias: absoluta, condicional ou divergente.

Passo 2

Vou lembrar dois fatos teóricos que vou usar (explicados de forma simples):
  • Teste da série p (p-series): a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}converge se, e somente se, \displaystyle p>1. Se \displaystyle p\le 1 a série diverge.
    Intuição curta: quando \displaystyle p\le 1 os termos não decrescem rápido o suficiente para somar um valor finito; quando \displaystyle p>1 a decaída é rápida o bastante.
  • Teste da comparação (caso prático usado aqui): para termos não negativos, se 0\le b_n\le a_n para todo n e \sum a_n diverge, então \sum b_n também diverge. Também: se 0\le a_n\le b_n e \sum b_n converge então \sum a_n converge. É um jeito de transferir convergência/divergência entre séries sabendo que uma domina a outra.

Passo 3

Usar a informação sobre \cos(n) para obter desigualdades simples para o numerador:
-1\le \cos(n)\le 1 \quad\Longrightarrow\quad 2\le 3-\cos(n)\le 4.
Portanto, para todo n\ge1,
\frac{2}{2\,n^{2/3}-1}\le \frac{3-\cos(n)}{2\,n^{2/3}-1}\le \frac{4}{2\,n^{2/3}-1}.

Passo 4

Vou transformar a desigualdade de forma a comparar com uma p-série. Observe que, para n\ge1,
2\,n^{2/3}-1 \le 2\,n^{2/3},
portanto tomando recíprocos (e lembrando que recíproco inverte a desigualdade quando os termos são positivos) obtemos
\frac{1}{2\,n^{2/3}-1}\ge \frac{1}{2\,n^{2/3}}.

Passo 5

Multiplicando a desigualdade do passo anterior por 2 (positivo) dá
\frac{2}{2\,n^{2/3}-1}\ge \frac{2}{2\,n^{2/3}}=\frac{1}{n^{2/3}}.
Combinando isso com a desigualdade do passo 3 temos, para todo n\ge1,
\frac{3-\cos(n)}{2\,n^{2/3}-1}\ge \frac{2}{2\,n^{2/3}-1}\ge \frac{1}{n^{2/3}}.
Em palavras: o termo geral a_n é maior ou igual a \displaystyle \frac{1}{n^{2/3}}.

Passo 6

Agora aplico o teste da comparação usando a p-série de expoente \displaystyle p=\tfrac{2}{3}:
  • A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2/3}} é uma p-série com \displaystyle p=\tfrac{2}{3}\le 1, portanto diverge.
  • Como para todo n vale \displaystyle a_n\ge \frac{1}{n^{2/3}} e os termos são não negativos, pela comparação direta concluímos que \sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3-\cos(n)}{2\,n^{2/3}-1}também diverge (a soma cresce sem limite).

Passo 7

Agora classificar em absoluta/condicional/divergente:
  • Como todos os termos a_n são não negativos temos |a_n|=a_n. Logo a série converge absolutamente se, e somente se, converge (porque valor absoluto não altera nada).
  • Mas já vimos que a série diverge. Portanto não é absolutamente convergente.
  • Condicionalmente convergente significaria que a série converge, mas não absolutamente. Como a série diverge, ela também não é condicionalmente convergente.

Passo 8

Resumo final e motivação rápida: a presença de \cos(n) só faz o numerador oscilar entre 2 e 4, isto é, não muda a ordem de grandeza em n. O denominador cresce como n^{2/3}, então o termo geral tem ordem \sim C\,n^{-2/3} com C>0. Como 2/3\le 1, a p-série correspondente diverge, e por comparação a série dada também diverge. Força aí — essa é uma técnica padrão: verificar ordem de grandeza e comparar com p-séries!

Resposta

Divergente.

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