Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n^{2}} n^{-4 / 5}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n^{2}} n^{-4/5}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n = (-1)^{n^{2}} n^{-4/5}.
  • O expoente na potência de n é -4/5 (ou seja, o termo de módulo é n^{-4/5}).
O que se pede:
  • Classificar a convergência da série em uma das três possibilidades: convergência absoluta, convergência condicional ou divergência.

Passo 2

Observação sobre o fator (-1)^{n^{2}}.
Note que n^{2} tem a mesma paridade que n: se n é par então n^{2} é par; se n é ímpar então n^{2} é ímpar. Portanto
(-1)^{n^{2}} = (-1)^{n}.
Assim podemos reescrever a série de forma mais familiar como
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n^{-4/5}.

Passo 3

Teste de convergência absoluta.
Para verificar convergência absoluta analisamos a série dos módulos:
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-4/5}.
Esta é uma série do tipo p-série, isto é, da forma \sum n^{-p} com p=\tfrac{4}{5}.
Lembrete (p-série): a série \sum_{n=1}^{\infty} n^{-p} converge se, e somente se, p>1; diverge para p\le 1.
Aqui p=\tfrac{4}{5}<1. Logo
\sum_{n=1}^{\infty} n^{-4/5}
diz-se divergente. Portanto a série original NÃO é absolutamente convergente.

Passo 4

Teste de convergência condicional: aplicar o critério de Leibniz (teste da série alternada).
Escrevemos a série na forma alternada
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} b_n, \qquad\text{onde}\qquad b_n = n^{-4/5}\ge 0.
O teste de Leibniz garante convergência da série alternada se as duas condições seguintes são satisfeitas:
  1. b_n é monotonicamente decrescente a partir de algum N, isto é, b_{n+1}\le b_n para n\ge N;
  2. \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Vamos verificar essas condições para b_n = n^{-4/5}.

Passo 5

Verificação de \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Como n^{-4/5} = 1 / n^{4/5} e n^{4/5}\to\infty quando n\to\infty, conclui-se que
\lim_{n\to\infty} n^{-4/5} = 0.

Passo 6

Verificação de que b_n é decrescente.
Considere a função contínua f(x)=x^{-4/5} para x>0. Calculemos a derivada:
f'(x) = -\tfrac{4}{5}\, x^{-9/5}.
Como x^{-9/5}>0 para x>0, tem-se f'(x)<0 para todo x>0. Portanto f é estritamente decrescente em (0,\infty), o que implica que a sequência b_n=f(n)=n^{-4/5} é decrescente: b_{n+1}<b_n para todo n.
Assim ambas as condições do teste de Leibniz estão satisfeitas.

Passo 7

Conclusão sobre convergência condicional.
Pelo teste de Leibniz, a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} n^{-4/5}
converge. Como já vimos que a série dos módulos diverge, a convergência não é absoluta.
Logo a série converge, mas não absolutamente — isto é, converge condicionalmente.

Resposta

Condicionalmente convergente.

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