Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - O expoente na potência de
é (ou seja, o termo de módulo é ).
O que se pede:
- Classificar a convergência da série em uma das três possibilidades: convergência absoluta, convergência condicional ou divergência.
Passo 2
Observação sobre o fator
.
Note que
tem a mesma paridade que
: se
é par então
é par; se
é ímpar então
é ímpar. Portanto
Assim podemos reescrever a série de forma mais familiar como
Passo 3
Teste de convergência absoluta.
Para verificar convergência absoluta analisamos a série dos módulos:
Esta é uma série do tipo p-série, isto é, da forma
com
.
Lembrete (p-série): a série
converge se, e somente se,
; diverge para
.
Aqui
. Logo
diz-se divergente. Portanto a série original NÃO é absolutamente convergente.
Passo 4
Teste de convergência condicional: aplicar o critério de Leibniz (teste da série alternada).
Escrevemos a série na forma alternada
O teste de Leibniz garante convergência da série alternada se as duas condições seguintes são satisfeitas:
-
é monotonicamente decrescente a partir de algum , isto é, para ; -
.
Vamos verificar essas condições para
.
Passo 5
Verificação de
.
Como
e
quando
, conclui-se que
Passo 6
Verificação de que
é decrescente.
Considere a função contínua
para
. Calculemos a derivada:
Como
para
, tem-se
para todo
. Portanto
é estritamente decrescente em
, o que implica que a sequência
é decrescente:
para todo
.
Assim ambas as condições do teste de Leibniz estão satisfeitas.
Passo 7
Conclusão sobre convergência condicional.
Pelo teste de Leibniz, a série alternada
converge. Como já vimos que a série dos módulos diverge, a convergência não é absoluta.
Logo a série converge, mas não absolutamente — isto é, converge condicionalmente.
Resposta
Condicionalmente convergente.